[Vollst. Induktion] Aufgabe mit Summe

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loci Auf diesen Beitrag antworten »
[Vollst. Induktion] Aufgabe mit Summe
Hallo, ich habe folgende Aufgabe die ich rechnen will:

Es ist zu zeigen, dass

, und zwar für alle natürlichen Zahlen.

Der Induktionsanfang ist mit n=1 einfach. Die Induktionsvorraussetzung auch. Bei meiner Rechnung drehe ich mich aber immer im Kreis und komme zu nichts gescheitem! Hier mein Rechenweg:

Zu zeigen:


Beginn des I.S.:

Den letzte Summand hab ich vor die Klammer gezogen.

Nun kann ich die I.V. einsetzen:


Dann bringe ich alles auf einen Nenner:


Auf einen Bruchstrich schreiben, da haben wir dann das Dilemma schon dass ich die 2^n eigentlich darunter nicht brauche...



und ab dann drehe ich mich mit umformen nur noch hin und her, und komme nicht da hin wo ich hin will.







Das ganze erscheint mir jetzt mehr als sinnlos so weiter zu machen.

Wie sehe ich am besten (Zeile) wo ich am günstigsten zum Ziel komme? Gibt es noch Tipps? Ausmultiplizieren soll nicht gut sein, außer man weiß was man tut, meinte der Tutor. Allerdings war das oben ein Versuch, da ich wirklich gar keine Ahnung hatte und erstmal anfangen wollte.

Ich hatte zuvor auch schonmal versucht, es zu rechnen. Da kam aber in etwa der gleiche Stuß raus und es ging nicht mehr weiter.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von loci
Zu zeigen:

Nein - die zu zeigende Induktionsbehauptung ist .


Übrigens kann man als gemeinsamen Hauptnenner von und schlicht letzteres nehmen, d.h. . Deine Wahl von verursacht einfach nur eine unnötige Termaufblähung.
 
 
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zusätzlich zur Anmerkung von HAL:

Du hast zwar einen gemeinsamen Nenner gewählt, aber bei weitem nicht den kleinsten. Denk mal darüber nach, wofür steht.

Desweiteren hast Du den zweiten Bruch (immer noch in der "auf einen Nenner-Zeile") falsch erweitert.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von loci
Dann bringe ich alles auf einen Nenner:

Das wäre der Zeitpunkt, meine übliche Klammerpredigt zu halten... aber ich bin zu müde und verabschiede mich in die N8. Dein Part, Helferlein. Wink
loci Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für das Feedback!

Zitat:
Nein - die zu zeigende Induktionsbehauptung ist .

Ok, das n+1 über der Summe ist klar. D.h. ich ersetze defintiv und immer nur jedes n durch n+1, sonst gar nichts? Ich habe aus k n+1 gemacht da ich annahm, dass die Summe von dort nach dort laufe. Aber wenn ich über die Summe schon n+1 schreibe, dann ist ja eigentlich auch klar dass sie sowieso bis n+1 läuft. Ja, das macht Sinn. Als Fazit also: k's immer k bleiben lassen?

Zitat:
Übrigens kann man als gemeinsamen Hauptnenner von 2n und 2n+1 schlicht letzteres nehmen, d.h. 2n+1.

Ich bin überrascht, dass das möglich ist. Ich dachte durch das Gleichheitszeichen muss es auch zwingend gleich sein, d.h. nichts weglassen oder so. Dachte etwas abschätzen oder das größere nehmen geht nur bei Ungleichungen. Das man den größeren nehmen kann, wusste ich nicht. Macht dann aber vieles einfacher, stimmt.
D.h. die Argumentation ist, dass 2^(n) quasi schon in 2^(n+1) enthalten ist und man daher einfach auch 2^n weglassen kann? Ist das so richtig begründet?

Zitat:
Denk mal darüber nach, wofür steht.

Bin nicht sicher, worau du anspielst. n ist ja aus den natürlichen Zahlen. 2^(n+1) lässt das "Ergebnis" (von 2^(n+1) natürlich sehr schnell ansteigen, d.h. die Zahlen werden schnell sehr groß. Im Bezug zur Anfangsaufgabenstellung, rechte Seite, der große Bruch, würde ich sagen, dass es aber nicht so viel ausmacht, da ja auch durch 2^n geteilt wird. Auf der linken Seite, d.h. in der Summe von k/2^k wird der Nenner auch schnell größer durch die Potenz. Das, was im Zähler steht, ist dagegen relativ vernachlässigbar (im übertragenen Sinne der Größenordnung her).

Zitat:
Das wäre der Zeitpunkt, meine übliche Klammerpredigt zu halten..

Ja, so wie ich es geschrieben habe ist es ziemlich dumm. Das habe ich gerade auch auf Anhieb gesehen. Punkt geht vor Strichrechnung und so würde ich erst die ersten beiden Faktoren berechnen, und dann den Rest subtrahieren etc. Korrekt gehört um den Ausdruck natürlich eine Klammer (s.u.). Ist das auch schon der Fehler mit dem Erweitern?


Auf meinem Schmierzettel war es auch richtig, bringt aber nix wenn ich es falsch abschreibe...
EDIT: Nein, bei meiner ersten (auch falschen) Rechnung habe ich es richtig gemacht. Bei der zweiten und hier geschilderten habe ich tatsächlich die Klammern aus unerfindlichen Gründen einfach weggelassen. verwirrt Wie blöd.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von loci
Als Fazit also: k's immer k bleiben lassen?


k ist der Laufindex. Also die Variable, deren Wert sich mit jedem Summendurchlauf um eins erhöht. Es muss also stehen bleiben, sonst hättest Du eine Summe von gleichbleibenden Summanden.

Zitat:
Original von loci
die Argumentation ist, dass quasi schon in enthalten ist und man daher einfach auch weglassen kann? Ist das so richtig begründet?

Ich weiss nicht, wieso Du in diesem Zusammenhang von "quasi" sprichst. Es geht um nichts anderes als die Bestimmung eines kleinsten gemeinsamen Nenners, wie Du es aus der Unterstufe kennen solltest. Genau so wie Du Halbe und Viertel (hoffentich) nicht auf Achtel bringst, um sie zu addieren, sondern auf Viertel.

Das war es auch, worauf mein Hinweis zielen sollte: ist das n+1-fache Produkt von 2, während das n-fache Produkt ist. Also hast Du in letzterem nur eine zwei weniger.
loci Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Genau so wie Du Halbe und Viertel (hoffentich) nicht auf Achtel bringst, um sie zu addieren, sondern auf Viertel.

Ja, das stimmt natürlich. Mit Zahlen sieht man es irgendwie schneller, bei so Potenzen und Buchstaben sehe ich das oft nicht auf den ersten Blick. Aber die Erklärung macht natürlich Sinn.

Nachdem ich meine Induktionsvorraussetzung eingesetzt habe, bin ich nun bei diesem Schritt:



Nun möchte ich aufgrund des Tipps also 2^(n+1) als Nenner. D.h., dass ich 2^n mit 2 multiplizieren muss, um auf 2^(n+1) zu kommen:



Nun auf gemeinsamen Bruchstrich:


Nur komme ich nun wieder nicht so ganz zu Rande. Das Umformen bereitet mir Probleme:



Da stimmt auch wieder irgendwas nicht.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du machst Dir das Leben schon wieder viel zu schwer. Fasse nach dem Ausmultiplizieren n mit -2n zusammen und 1 mit -4. Was bleibt dann übrig?
loci Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich dachte, dass die (n+1) zusammen bleiben müssen. Obwohl eigentlich auch Schwachsinn, da es ja eine Addition ist und dann theoretisch egal, wie man die Klammern setzt (Assoziativgesetz?)

Ich habe jetzt mal versucht zusammenzufassen - dann fehlt mir aber wieder was. Ich bekomme es sowas von nicht gebacken!
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist so kurz vorm Ziel und siehst es nicht geschockt

loci Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so was blödes! Tomaten auf den Augen. geschockt

Wenn man die Klammern setzt, und diese dann entsprechend auflöst, kommt man von deinem Schritt auf den letzten:


Löst man die Klammern auf, hat man wieder -n-1. .... Hammer Hammer Hammer Hammer Hammer

Danke für die Hilfe! Das war zugegebener Maßen eine schwere Geburt Forum Kloppe
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