Zusammenhang zwischen liminf und limsup

10.02.2016, 10:25	CB1	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhang zwischen liminf und limsup Hallo Mitglieder, Gilt folgende Gleichung? $\begin{eqnarray} \mathbb P ( \limsup_{n \to \infty } X_n \leq 1) = \mathbb P ( \liminf_{n \to \infty } X_n \geq 1) \end{eqnarray}$ Dies habe ich ine einem Beweis genutzt, doch bin ich mir nicht ganz siche ob das gilt. Danke im voraus!
10.02.2016, 10:38	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso sollte denn das gelten? Es ist ja geradezu trivial, da ein Gegenbeispiel anzugeben: $\begin{align} X_n = 0 \end{align}$ konstant für alle $\begin{align} n \end{align}$ , dann ist $\begin{align} \mathbb P (\limsup_{n \to \infty } X_n \leq 1) = 1 \end{align}$ und $\begin{align} \mathbb P ( \liminf_{n \to \infty } X_n \geq 1) = 0 \end{align}$ .
10.02.2016, 11:13	CB1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke für deine Antwort. Kannst du mir sagen in welcher weise ich dann Borel Cantellis Lemma auch für $\begin{eqnarray} \liminf_{n \to \infty } \end{eqnarray}$ anwenden kann. Also ich brauche einen Zusammenhang zwischen $\begin{eqnarray} \limsup_{n \to \infty } \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \liminf_{n \to \infty } \end{eqnarray}$
10.02.2016, 12:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Borel-Cantelli-Lemma bezieht sich primär auf den limsup von Ereignisfolgen. Da kann man sicher in geeigneter Weise auch die Verbindung zu Ereignissen im Zusammenhang mit dem limsup bzw. liminf von Zufallsgrößen ziehen, aber wie genau du das hier vorhast, solltest du mal näher erläutern.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »