Satz von Gauß, Stokes, Differentialgleichungssysteme

10.02.2016, 10:47	GOLFMKI	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Gauß, Stokes, Differentialgleichungssysteme Hallo, ich habe folgendes Problem: In einem Lehrbuch fand ich zu dem Integralsatz von Stokes folgende Definition: "Die Zirkulation von v (v ist Vektorfeld) längs deltaPhi (dies sollte der Rand der Fläche sein) ist gleich dem Wirbelfluss von v auf Phi (dies sollte die Oberfläche darstellen). Interpretiert habe ich das dann so: Mit der Rotation des Vektorfeldes auf einen Körper berechne ich den Wirbelfluss an den Kanten (Rand des Körpers mithilfe einer Raumkurve) nach Stokes und diese ist gleich dem Fluss durch die Oberfläche des Körpers (divergenz des Vektorfeldes nach Gauß). Mein Matheprof. hat mir meine Interpretation ausgeschlagen und verwiesen, er rechne nur damit und kann mir keine bildhafte Darstellung unterbreiten. Daher meine Frage an euch. Kann mir jemand sagen, was ich mir unter all dem gerechneten verstehen darf? In welcher Beziehung stehen die Rechnungen von Gauß und und Stokes? Was berechne ich bei Stokes eigentlich und was bei Gauß? Weil unter all den Überlegungen steckt folgendes (bitte korrigieren falls meine Überlegung falsch ist!): 1.Weg Ich habe eine Kugel mit einer zylindrischen Bohrung. Es entstehen Verwirbelungen an den Kanten, dort wo die Bohrung gefräst wurde. Ich berechne den Fluss durch die Kugel. Der Fluss ist genau dort gestört wo meine Bohrung ist. Es sind zwei Kreise mit dem Durchmesser der Bohrung die meine Divergenz des Vektorfeldes (hier Bereichtsintegral nach Gauß) stören. Nun wollte ich beide Kreise als Raumkurve darstellen. Der Wirbelfluss (weil Raumkurve muss nach Stokes gerechnet werden) ist gleich dem Fluss auf der Oberfläche. Und rechne: div v der Kugel minus den beiden Flächen und ich erhalte den gesamten Fluss vom Vektorfeld durch die Kugel hindurch die vom Vektorfeld v ausgeht. Alternative: Ich rechne die Differenz von der Bohrung und der Kugel und bestimme mein (theta). Nur wie sieht hier mein Theta aus? Weil es kann ja nicht bis Pi/2 laufen weil die Bohrung noch da ist. Wie erhalte ich die Differenz? Und ich würde dann nur über die divergenz (Bereichsintegral nach Gauß) meine Berechnung anstellen. Wieso funktioniert der 1. Weg nicht? Hoffe mir kann einer kurz und kompakt ne Hilfestellung geben! Bei DGL-Systemen gibt es auch einen Ansatz der rechten Seite oder gibt es den nur bei DGL's? In meiner Uni haben wir immer mit der Variation der Konstanten gerehcnet bzw mit der Inversen bei 2x2 Matrizen. Gibt es hier einen Trick mit einem allgemeingültigen Ansatz? Wäre mega cool, falls mit jemand eine Aufgabe geben könnte oder wie solch ein Ansatz funktioniert. (Mir schwebt etwas mit einem Ansatz vom Cosinus und Sinus im Kopf rum, bzw. meine darüber etwas gelesen zu haben. Deshalb diese Frage) Oder wie kriege ich bei DGL-Systemen möglichst schnell eine partikuläre Lösung? Weil die part. Lösung ist genau die Lösung die mein DGL-System homogen macht. Gibt es hier Tricks? LG GOLFMKI
10.02.2016, 13:03	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegeben sei ein Vektorfeld im Raum - z.B. ein Kraftfeld $\begin{eqnarray} \vec F(\vec x) \end{eqnarray}$ . Geht man entlang einer geschlossenen Kurve, welche eine Fläche A umschließt, so verrichtet man dabei die Arbeit (=Kraft mal Weg) $\begin{eqnarray} W=\oint \vec F(\vec x)\, d\vec x \end{eqnarray}$ Wir ziehen die umrundete Fläche auf einen Punkt $\begin{eqnarray} \vec x_0 \end{eqnarray}$ zusammen und betrachten den Grenzwert "Arbeit pro Fläche" für eine unendlich kleine Fläche $\begin{eqnarray} \lim_{A \to 0} \frac{\text{Arbeit W}}{\text{Fläche A}}=\lim_{A \to 0}\frac{\oint \vec F(\vec x)\, d\vec x}{A} \end{eqnarray}$ Dieser Grenzwert ist ein Maß dafür, wieviel Energie man pro Fläche aus dem Kraftfeld durch Gehen auf einer geschlossenen Kurve "herausholen" kann (lokal betrachtet). Man kann diesen Grenzwert formal als Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \vec a\cdot \vec n \end{eqnarray}$ darstellen, wobei $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ der Einheitsnormalenvektor der differenziell kleinen Fläche A ist und $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ eingewisser Vektor ist. $\begin{eqnarray} \vec a \cdot \vec n=\lim_{A \to 0} \frac{\text{Arbeit W}}{\text{Fläche A}}=\lim_{A \to 0}\frac{\oint \vec F(\vec x)\, d\vec x}{A} \end{eqnarray}$ Diesen Vektor $\begin{eqnarray} \vec a=rot(\vec F(\vec x_0) \end{eqnarray}$ bezeichnet man als Rotation des Vektorfeldes $\begin{eqnarray} \vec F(\vec x_0) \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} \vec x_0 \end{eqnarray}$ . Dadurch hat man erreicht, dass die Rotation unabhängig davon wird, wie die Fläche geneigt ist.
10.02.2016, 13:39	GOLFMKI	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort! So wie ich es nun aufgenommenhabe: mit Gauß: die Divergenz des Vektorfeldes hat etwas damit zu tun wie viel Energie ich aus der Fläche erhalte? Wenn die Divergenz = 0 des Kraftfeldes so erhalte ich auch keine Energie? Ich versuche mir bildlich etwas dadrunter vorzustellen ohne mathematische Beweise oder Herleitungen. wie z.B.: Ich stell mir ein Vektorfeld einfach als Wind vor. Dieser Wind trifft auf einen Körper Bsp. Kugel). Der Körper muss eine Arbeit aufgrund des Vektorfeldes verrichten. Die Kugel rollt. Also hier divergenz des Vektorfeldes ungleich 0. Falls div v = 0 rollt die Kugel nicht und das Vektorfeld (hier der Wind) pustet am Objekt vorbei. Die Arbeit des Objekts durch das Kraftfeld /Vektorfeld ist gleich dem dreifachen (da räumlich) Berisintegral mit der divergenz des Vektorfeldes. bei Stokes: Und die Rotation wäre dann der Wind, der auf eine Fläche der Kugel pustet, wobei die die Fläche egal ist, da die Bewegung der Kugel von der Rotation des Kraftfeldes abhängt.der Wind kann als Streckenlast angenommen werden, der somit zu einer Kraftresultierenden wird = a. Und a*n (skalar) ergibt den Grenzwert, wieviel Kraft man heruasholen kann. Wahrscheinlich sind alle Überlegungen völlig falsch und Zusammenhanglos, aber ich suche solch eine Erklärung was ich dort berechne. Ich hoffe Du kannst mir helfen Weil stupides Rechnen ohne zu wissen, warum ich etwas mache, finde ich ziemlich langweilig. LG
11.02.2016, 08:53	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Was mich erschüttert ist deine Aussage: <Zitat> "Mein Matheprof. hat mir meine Interpretation ausgeschlagen und verwiesen, er rechne nur damit und kann mir keine bildhafte Darstellung unterbreiten." Für einen akademischen Lehrer ist das kein Ruhmesblatt.. ------------------------------ Deine Erklärungen der Rotation und der Divergenz sind leider nicht richtig. Insbesondere haben beide Begriffe nichts miteinder zu tun. Wichtig ist: 1. Die Rotation ordnet einem $\begin{eqnarray} \vec F(\vec x) \end{eqnarray}$ ein neues Vektorfeld $\begin{eqnarray} rot(\vec F(\vec x) \end{eqnarray}$ zu. 2. Die Divergenz ordnet einem Vektorfeld $\begin{eqnarray} \vec F(\vec x) \end{eqnarray}$ ein Skalarfeld $\begin{eqnarray} div[\vec F(\vec x)] \end{eqnarray}$ zu. Die anschauliche Definitionder Rotation habe ich dir gestern gegeben. ------------------------------------------------------------ Motivation der Divergenz: Betrachte einen Behälter, in dem eine exotherme chemische Reaktion stattfindet. Die dabei entstehende Wärme sei an jedem Ort verschieden. Der lokale Wärmestrom geht dabei wie immer "von warm nach kalt", wobei wir die Wärmestromdichte mit $\begin{eqnarray} \vec j \end{eqnarray}$ bezeichnen (Einheit: Energie pro Fläche und Zeit). Innerhalb des Behälters betrachten wir ein beliebiges (in den Behälter eingebettetes) Volumen V mit der Oberfläche A. Die Wärme, die aus diesem Volumen abströmt, ist das Oberflächenintegral $\begin{eqnarray} \text{Wärmeabfluss}=\oint \vec j\,d\vec A \end{eqnarray}$ Dieses Integral gibt nur den Wärmefluss aus dem betrachteten Volumen als Ganzes an und sagt nichts darüber aus, wie die Wärmsströmung innerhalb des Volumens verteilt ist. Will man genau wissen, wieviel Wärme aus einem Punkt $\begin{eqnarray} \vec x_0 \end{eqnarray}$ abströmt (also lokal), so macht man das Volumen immer kleiner und zieht es auf diesen Punkt $\begin{eqnarray} \vec x_0 \end{eqnarray}$ zusammen. Man macht also den Grenzübergang $\begin{eqnarray} \lim_{V \to 0} \tfrac{\text{Wärmeabfluss}}{\text{Volumen}}=\lim_{V \to 0} \frac{\oint \vec j\,d\vec A}{V} \end{eqnarray}$ Diesen Grenzwert bezeichnet man als Divergenz der Wärmestromdichte $\begin{eqnarray} \vec j \end{eqnarray}$ am Punkt $\begin{eqnarray} \vec x_0 \end{eqnarray}$ . Im Allgemeinen bekommt man in jedem Punkt ein anderes Ergebnis - also eine andere Divergenz. In diesem Beispiel ist die Divergenz also ein Maß dafür, wie stark die exotherme chemische Reaktion an diesem Punkt $\begin{eqnarray} \vec x_0 \end{eqnarray}$ abläuft. ---------------------------------------------------- Literaturhinweis: G.E.Joos und E.Richter: "Höhere Mathematik" Das Buch wendet sich nicht an Formalisten, sondern an Leser, die den Sinn der Sache verstehen wollen. Es hat schon -zig Auflagen erlebt und ist ein echter Klassiker. Insbesondere werden die Rotation und Divergenz schön hergeleitet. Der Autor Georg Joos (1984-1959) ist eine historische Figur.

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