Überprüfung meiner Approximation

10.02.2016, 15:16	mathe2345	Auf diesen Beitrag antworten »
Überprüfung meiner Approximation hey, bei der Vorbereitung auf meine Matheklausur bin ich auf eine Approximationsaufgabe gekommen, die ich leider unvollständig aufgeschrieben habe. Könnt ihr mal drüber schauen und mir sagen ob ich sie richtig berechnet wurde? Danke: f(x)= 1/3x^4 + x² - 3x + 2 n = Grad der Approximation = 3 x = 1 Meine Lösung lautet: 1/3+1/3(x-1) + 6/2(x-1)² + 8/6*(x-1)³ und zusammengefasst: 4/3x³-x²-5/3x+5/3 Muss ich sonst noch was tun? Oder war dies die Approximation der Funktion? Muss auch ehrlich gestehen das ich nicht weiß was ich hier gemacht habe! Bin nur strikt nach der Formel gegangen und hab ne Funktion als Lösung. Was besagt diese denn eigentlich? ========= Ach, das passiert halt wenn meine seine Mitschriften nicht geordnet hat. Hab die Aufgabenstellung übersehen! Jetzt kann ich auch mehr mit der Formel anfangen... Sie lautet: Nähere dich der Funktion um die Stelle x=1. Nähere dich linear. Wie groß ist die Abweichung für genau die Stelle x= 1.001. Linear bedeutet ja das der Grad der Approximation = 1 = n ist. und nachdem ich meine Gleichung mit x=1 aufgestellt habe muss ich nur zum Schluss für f(x) = 1.001 einsetzten, stimmts? Ich mach das mal gleich und melde mich wieder mit der Lösung ========= Bei mir kommt f(x) = 1/3+1/3(x-1) = 1/3x raus für die Approximation. und die Abweichung beträgt bei mir: f(1.001)= 1001/3000 Ist der Rechenweg und die Lösung richtig? Habe wie gesagt leider keinen Lösungsweg oder keine Lösung zu der Aufgabe in meinen Aufzeichnungen unglücklich Gruß Drei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon geantwortet wird. Steffen
10.02.2016, 17:31	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Approximation einer Kurve an einer Stelle ("Entwicklungspunkt" x0) ist nichts anderes, als die Erstellung einer weiteren Kurve niedrigerer Ordnung, die sich an dieser Stelle dem ursprünglichen Graphen anschmiegt. Je weiter man sich von der Stelle entfernt, desto ungenauer werden die angenäherten Funktionswerte im Vergleich zu den exakten der gegebenen Funktion. Wir verwenden dazu das Taylorpolynom (Taylorreihe) für die Entwicklungsstelle x0, die bei jenem Grad abbricht, den die Näherungsfunktion haben soll. Bei der linearen Approximation berechnet man daher die Gleichung der Tangente im Punkt (x0; f(xo)) $\begin{eqnarray} p_1(x) = f(x_0) + f \ '(x_0) \cdot (x - x_0) \end{eqnarray}$ Das Taylorpolynom 2. Ordnung (quadratische Approximation) sieht dann so aus: $\begin{eqnarray} p_2(x) = f(x_0) + f \ '(x_0) \cdot (x - x_0) + \frac 1 2 f \ ''(x_0) \cdot (x - x_0)^2 \end{eqnarray}$ Die Abweichung ist die Differenz der beiden Funktionswerte Näherungsfunktion/exakte Funktion Üblicherweise berechnet man dann sowohl den absoluten wie den relativen Fehler. Hast du dies auch so berechnet und dein Ergebnis dahingehend kontrolliert? mY+
10.02.2016, 17:46	mathe2345	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau mit der Formel habe ich es berechnet! Nur bei der Abweichung, habe ich den Wert 1.001 in meine approximierte Funktion eingesetzt und die Lösung als meine Abweichung genommen. Laut dir müsste ich aber den Wert 1.001 in meine Ursprungsfunktion einsetzen und das Ergebnis - das Ergebnis von 1.001 in meiner approximierten Funktion berechnen. Das wäre dann meine Abweichung? Also: f(1.001)= 1/3x^4 + x² - 3x + 2 = 0.333669668 f(1.001) = 1/3x (Approximiert) = 0.3336666667 Wäre dann die Abweichung wirklich = 0.000003 ? Entweder habe ich mich irgendwo verrechnet oder ich habe es falsch verstanden
10.02.2016, 18:14	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das stimmt so, abgesehen vom Vorzeichen Die Abweichung (absolut) ist bei 1.001 gleich $\begin{eqnarray} p(x) - f(x) = - 3.001334394 \cdot 10^{-6} \end{eqnarray}$ Als Vergleichsnormal (vor allem für den relativen Fehler!) dient immer die exakte f(x) mY+

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »