Stetigkeit einer Funktion in 2 Variablen

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SamuelMooreWalton Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit einer Funktion in 2 Variablen
Ich kann mich dunkel an einen Satz erinnern, der besagt, wenn eine Funktion in 2 Variablen stetig ist wenn man die Variablen getrennt betrachtet und die Funktion ist monoton, dann ist die Funktion stetig.
Kennt jemand diesen Satz?

Zum Problem, ich soll zeigen f(x,y) ist stetig und habe f ist symm, monoton und f(x,.) und f(.,y) sind stetig. Stetigkeit habe ich hier gegeben durch das Folgenkriterium...
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

bezüglich welcher Ordnung sprichst du von Monotonie?
Kannst du sonst vielleicht einmal die Originalaufgabenstellung wiedergeben bitte?
SamuelMooreWalton Auf diesen Beitrag antworten »


in den reellen Zahlen. Die Ordnung ist
und wie gesagt ist symmetrisch und monoton.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Und was soll (z.B.) bedeuten? Ist dass dann komponentenweise zu verstehen, sodass wir eine Partialordnung erhalten?
SamuelMooreWalton Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Gilt
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aussage sollte stimmen (wenn ich keinen Fehler im Beweis habe).
Die Symmetrie braucht man nicht.

Ging es dir nur darum oder möchtest du sie auch beweisen?
 
 
SamuelMooreWalton Auf diesen Beitrag antworten »

Mir geht es um den Beweis.

Vielen Dank für deine Mühe!!!
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, der Einfachheit halber würde ich auf die Supremumsnorm zugrunde legen. Das kann man machen, weil alle Normen dort äquivalent sind.
Wir zeigen Stetigkeit in . Weiter nehmen wir o.B.d.A. an, dass im Inneren liegt. Ansonsten muss man Spezialfälle getrennt behandeln.

Nutze jetzt die partielle Stetigkeit, um zu vorgegebenem ein zu finden, sodass (einerseits die unteren Ausdrücke wohldefiniert sind (damit das geht, haben wir oben unser o.B.d.A)) und:

gilt. Da wirst du mehrere Zwischenschritte brauchen.

Jetzt nutze die Monotonie, um zu zeigen, dass für mit bereits folgt, dass sowohl , als auch zwischen und liegen, woraus zusammen mit der obigen Abschätzung die Stetigkeit folgt.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

@Guppi

Ich glaube du benutzt die Symmetrie indirekt, indem du den Monotoniebegriff erweiterst.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, da hast du Recht. Ich war davon ausgegangen, dass das nur in der Definition der Monotonie vergessen wurde. Das würde dann nämlich tatsächlich dem von der komponentenweise Ordnung induzierten Monotoniebegriff entsprechen. Aber es steht natürlich nicht da, das stimmt. Dann braucht man die Symmetrie.
SamuelMooreWalton Auf diesen Beitrag antworten »

Für den ersten Teil: Ich würde hier Terme (aktive 0) einschieben. Ich weiß es gibt
so, dass die "koordinatenweise" Stetigkeit (und somit so wählen zu können) gilt. Diese wähle ich bel. aber fest. Sei
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit richtig Augenzwinkern
SamuelMooreWalton Auf diesen Beitrag antworten »

Danke smile

Für den zweiten Teil ist trivial.
Leider weiß ich jetzt aber nicht wie ich die Monotonie für den anderen Teil nutzen kann.
das ist klar.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist jetzt nicht ganz klar, was du trivial bzw. klar findest und was nicht. Könntest du das genauer ausführen?
SamuelMooreWalton Auf diesen Beitrag antworten »

Trivial: ist zwischen und das selbe mit +
Nicht trivial: liegt dazwischen, wenn der Abstand der Argumente jeweils klein wird
SamuelMooreWalton Auf diesen Beitrag antworten »

Bzw. vielleicht so: Argumentieren mit der komponentenweisen Stetigkeit und der Monotonie.
Wenn das Maximum von kleiner ist (analog y), dann ist auch wegen der Monotonie zwischen den "f's" mit +- delta
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zeige, dass aus der Voraussetzung an folgt, dass und analog für . Dann sollte es klar sein oder?
SamuelMooreWalton Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!
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