Körperbeweis, Inverses & Mehr

10.02.2016, 17:09

Xyarvius

Körperbeweis, Inverses & Mehr

Meine Frage:
Sei Q die Menge der rationalen Zahlen. Wir definieren die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2}) := \left\{ x\in \mathbb R |\exists a,b \in \mathbb Q : x = a+b\sqrt{2} \right\} \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie, dass diese Menge zusammen mit der üblichen Addition und Multiplikation von reellen Zahlen ein Körper ist.

Meine Fragen:
1. Ist meine Beweisführung korrekt? Was könnte man ggf. besser schreiben?
2. Reicht meine Beweisführung bei der Abgeschlossenheit? Mir kommt es so vor, als würde das nicht genügen, weiß aber auch nicht, wie man das weiter ausführen sollte.
3. Ich komme nicht auf das Inverse der Multiplikation. Gibt es da einen Trick, wie man den einfach bestimmt?

Meine Ideen:
Behauptung: $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ist ein Körper
Beweis:

Addition
Abgeschlossenheit
Seien $\begin{eqnarray*} x,y\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , dann gilt:
$\begin{eqnarray*} x\oplus y = (a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ist über der Addition abgeschlossen

Assoziativität
Seien $\begin{eqnarray*} x,y,z\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b,c,d,e,f \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , dann gilt:
$\begin{eqnarray*} x\oplus (y\oplus z)=(a+b\sqrt{2})+((c+d\sqrt{2}) + (e+f\sqrt{2})) = (a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2}) + (e+f\sqrt{2}) =((a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})) + (e+f\sqrt{2}) = (x\oplus y)\oplus z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ist über der Addition assoziativ

Kommutativität
Seien $\begin{eqnarray*} x,y\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , dann gilt:
$\begin{eqnarray*} x\oplus y = (a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2}) = a+b\sqrt{2}+c+d\sqrt{2} =c+d\sqrt{2}+a+b\sqrt{2} =(c+d\sqrt{2})+(a+b\sqrt{2}) =y\oplus x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ist über der Addition kommutativ

Neutrales Element
Seien $\begin{eqnarray*} x,y_n\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b,c,d\in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} d=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_n=0+0\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ , dann gilt:
$\begin{eqnarray*} x\oplus y_n = (a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2}) = (a+b\sqrt{2})+(0+0\sqrt{2}) = (a+b\sqrt{2}) = x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ besitzt über der Addition das neutrale Element $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$

Inverses Element
Seien $\begin{eqnarray*} x,y_i\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b,c,d\in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c=-a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} d=-b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_i =-a-b\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ , dann gilt:
$\begin{eqnarray*} x\oplus y_i = (a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2}) = (a+b\sqrt{2})+(-a-b\sqrt{2}) = a+b\sqrt{2}-a-b\sqrt{2} =a-a+b\sqrt{2}-b\sqrt{2} = 0 + 0\sqrt{2} = y_n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ besitzt über der Addition das inverse Element $\begin{eqnarray*} y_i \end{eqnarray*}$

Multiplikation
Abgeschlossenheit
Seien $\begin{eqnarray*} x,y\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , dann gilt:
$\begin{eqnarray*} x\otimes y = (a+b\sqrt{2}) \cdot (c+d\sqrt{2})\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ist über der Addition abgeschlossen

Assoziativität
Seien $\begin{eqnarray*} x,y,z\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b,c,d,e,f \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , dann gilt:
$\begin{eqnarray*} x\otimes (y\otimes z)=(a+b\sqrt{2})\cdot ((c+d\sqrt{2}) \cdot (e+f\sqrt{2})) = (a+b\sqrt{2})\cdot (ce+cf\sqrt{2} + de\sqrt{2} + 2df) =ace+acf\sqrt{2} + ade\sqrt{2} + 2adf + bce\sqrt{2}+2bcf + 2bde + 2bdf\sqrt{2} = (ac + ad\sqrt{2} + bc\sqrt{2} + 2bd) \cdot (e +f\sqrt{2}) =((a+b\sqrt{2})\cdot (c+d\sqrt{2})) \cdot (e+f\sqrt{2}) =(x\otimes y) \otimes z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ist über der Multiplikation assoziativ

Kommutativität
Seien $\begin{eqnarray*} x,y\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , dann gilt:
$\begin{eqnarray*} x\otimes y = (a+b\sqrt{2}) \cdot (c+d\sqrt{2}) = (ac + ad\sqrt{2} + bc\sqrt{2} + 2bd) = (c+d\sqrt{2}) \cdot (a+b\sqrt{2}) = y\otimes x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ist über der Multiplikation kommutativ

Neutrales Element
Seien $\begin{eqnarray*} x,y_n\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b,c,d\in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} d=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_n=1+0\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ , dann gilt:
$\begin{eqnarray*} x\otimes y_n = (a+b\sqrt{2})\cdot (c+d\sqrt{2}) = (a+b\sqrt{2}) \cdot (1+0\sqrt{2}) = (a+b\sqrt{2}) \cdot 1 = (a+b\sqrt{2}) = x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ besitzt über der Multiplikation das neutrale Element $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$

Inverses Element
Seien $\begin{eqnarray*} x,y_i\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b,c,d\in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c=? \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} d=? \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_i =?+?\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ , dann gilt:
?
$\begin{eqnarray*} x\otimes y_i = (a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2}) =(a+b\sqrt{2})+(?+?\sqrt{2}) = ? = (1+0\sqrt{2}) = y_n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ besitzt über der Multiplikation das inverse Element $\begin{eqnarray*} y_i \end{eqnarray*}$

Distributivität
Seien $\begin{eqnarray*} x,y,z\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b,c,d,e,f \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , dann gilt:
$\begin{eqnarray*} x \otimes (y \oplus z) = (a+b\sqrt{2})\cdot ((c+d\sqrt{2}) + (e+f\sqrt{2})) = (a+b\sqrt{2})\cdot (c+d\sqrt{2} + e+f\sqrt{2}) = ac+ad\sqrt{2} + ae + af\sqrt{2} + bc\sqrt{2}+ 2bd + be\sqrt{2}+2bf = ac + ad\sqrt{2} + bc\sqrt{2} + 2bd + ae + af\sqrt{2} + be\sqrt{2} + 2bf = (ac + ad\sqrt{2} + bc\sqrt{2} + 2bd) + (ae + af\sqrt{2} + be\sqrt{2} + 2bf) = ((a+b\sqrt{2}) \cdot (c+d\sqrt{2})) + ((a+b\sqrt{2}) \cdot (e+f\sqrt{2})) = (x \otimes y)\oplus (y\otimes z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ist über der Multiplikation distributiv

10.02.2016, 18:05

tatmas

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Hallo,

1. was soll $\begin{eqnarray*} \bigoplus \end{eqnarray*}$ sein?
Du hast hier nach Aufgabenstellung die übliche Addition und Multiplikation der reellen Zahlen, geschrieben + und $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ .

2. Bei der Abgeschlossenheit ist zu zeigen, dass für zwei Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q (\sqrt{2} ) \end{eqnarray*}$ auch die Summe in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q (\sqrt{2} ) \end{eqnarray*}$ liegt; nicht in den reelllen Zahlen.

3. Die Formulierung ist über Addition [Eigenschaft] gibt es nicht.
ist [Eigenschaft] bzgl. Addition oder additiv abgeschlossen oder erfüllt [Eigenschaft] wären mögliche Formulierungen.

4. Nutze Unterring/gruppen-Kriterium. Das spart assoziativität und Kommutivität und distributivität u zeigen.

5. Das neutrale Element der Addition ist 0. Dem einen unnötigen zusätzlichen Namen zu geben stiftet nur Verwirrung und benötigt zusätzlichen Schreibaufwand.
Und das multiplikative neutrale Element ist 1.
Da du beide neutralen Elemente den selben Bezeichner gibst impliziert du die Aussage 1=0.

6. Zum Inversen: Definierende Gleichung hinschreiben, dann ergeben sich zwei Gleichungen in zwei Unbekannten die sich schnell lösen lassen.

10.02.2016, 18:13

HAL 9000

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Eine Anmerkung noch zur Exaktheit der Ausdrucksweise:

Zitat:

Original von Xyarvius
Seien $\begin{eqnarray*} x,y\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , dann gilt:

So formuliert klingt es so, als könnte man alle sechs Zahlen getrennt voneinander wählen. Tatsächlich meinst du aber

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} x,y\in \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ , dann existieren $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x=a+b\sqrt{2},\,y=c+d\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und es gilt:

Zu den Beweisen an sich hat tatmas ja schon vieles gesagt.

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