Grenzwert einer Reihe

10.02.2016, 19:40

sgfeew

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Grenzwert einer Reihe

Meine Frage:
Hi, wie berechne ich den Grenzwert der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{k}{2^{k} } \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } x^{k} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ ist. Aber ich weiß leider nicht wie ich das nutzen kann

10.02.2016, 19:42

tatmas

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Hallo,

was du weißt ist bereits ein guter Anfang.
Bilde davon (auf beiden Seiten) die Ableitung.

10.02.2016, 19:55

sgfeew

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Also die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x^{2} } \end{eqnarray*}$
Was ist mit der anderen Seite gemeint? Mit Ableitungen von Summen weiß ich leider nichts anzufangen

10.02.2016, 19:58

tatmas

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Es gibt eine Regel zur Berechnung der Ableitung von Summen.
Wenn du die nicht auswendig weißt (was sinnvoll wäre), schlag sie bitte nach

10.02.2016, 20:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von sgfeew
Also die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x^{2} } \end{eqnarray*}$ .

Nein.

10.02.2016, 20:06

sgfeew

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Die Ableitung ist natürlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1-x)^{2} } \end{eqnarray*}$ Hammer

Hammer

Okay, ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{k^{3}-2k^{2}}{k^{4}} \end{eqnarray*}$ richtig?

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10.02.2016, 20:10

tatmas

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Zitat:

Okay, ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{k^{3}-2k^{2}}{k^{4}} \end{eqnarray*}$ richtig?

Der Ausdruck ist undefiniert weil einmal durch 0 geteilt wird.
Ferner könnte man auch kürzen.

Und was soll das überhaupt sein?

10.02.2016, 20:15

sgfeew

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Ich habe gelesen, dass die Ableitung einer Summe die Summe der Ableitungen der Summanden sei. Ich habe dann die Funktion hinter der Summe abgeleitet und die Summe davon gebildet.

10.02.2016, 20:18

tatmas

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Zitat:

Original von sgfeew
Ich habe gelesen, dass die Ableitung einer Summe die Summe der Ableitungen der Summanden sei.

Richtig.
Und was ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ ?

10.02.2016, 20:26

sgfeew

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$\begin{eqnarray*} kx^{k-1} \end{eqnarray*}$ . Ich hatte versucht die obere Summe abzuleiten Hammer

Hammer

10.02.2016, 20:28

tatmas

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Richtig. Kannst du damit die Aufgabe jetzt lösen?

Übrigens wäre die Ableitung von

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{k}{2^{k} } \end{eqnarray*}$ ?

(nach x) schlicht ß0 ohne großes Rumrechnen.

10.02.2016, 20:38

Matt Eagle

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RE: Grenzwert einer Reihe
Ganz ohne Differentialrechnung kannst Du auch, ähnlich wie Entwicklung der geometrischen Summenformel, vorgehen. Betrachte dazu:

$\begin{eqnarray*} S:=\sum_{k=1}^\infty \frac k{2^k}=\frac 12+\frac 24+\frac 38+ \frac 4{16}+\ldots \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} H:=\frac 12 S=\sum_{k=2}^\infty \frac {k-1}{2^k}=\frac 14+\frac 28+\frac 3{16}+ \frac 4{32}+\ldots \end{eqnarray*}$

Dann gilt offenbar:

$\begin{eqnarray*} \frac 12S=S-H=\frac 12+\frac 14+\frac 18+\frac 1{16}+\ldots=\sum_{k=1}^\infty \frac 1{2^k}=1. \end{eqnarray*}$

10.02.2016, 22:37

sgfeew

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Ich würde dann $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{k}{2^{k} } \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } k*2^{-k} \end{eqnarray*}$ umformen. Jetzt müsste ich diesen Ausdruck noch zu $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } k*2^{k-1} \end{eqnarray*}$ umformen. Da müsste ich dann wahrscheinlich eine Indexverschiebung machen. Ich weiß allerdings nicht, wie ich das -k zu k bekomme

10.02.2016, 22:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von sgfeew
Jetzt müsste ich diesen Ausdruck noch zu $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } k*2^{k-1} \end{eqnarray*}$ umformen.

Das ist Unsinn: Zum einen stimmt die Umformung nicht, zum anderen ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } k*2^{k-1} \end{eqnarray*}$ divergent - ist also eh kein anstrebenswerter Term.

In die richtige Richtung geht es via $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2^{k}} = \sum\limits_{k=1}^{\infty} k \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^k \end{eqnarray*}$ .

15.02.2016, 16:02

sgfeew

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Okay, ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty }(\frac{1}{2})^{k} \end{eqnarray*}$ = 1
Aber jetzt habe ich ja noch das k in der Summe. Wie mache da weiter?
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2^{k}} = \sum\limits_{k=1}^{\infty} k \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^k \end{eqnarray*}$

Edit(Nick): Latex korrigiert.

15.02.2016, 16:21

HAL 9000

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Irgendwie hast du wohl ein wenig aus den Augen verloren, wo du schon mal warst, und zwar am 10.02.2016 20:06 + 20:26: Es ist

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} kx^{k-1} = \frac{1}{(1-x)^2} \end{align*}$

für alle $\begin{align*} x \end{align*}$ im Konvergenzbereich der Reihe links (d.h. $\begin{align*} |x|<1 \end{align*}$ ). Das ganze kann man noch mit $\begin{align*} x \end{align*}$ multiplizieren, um den Exponenten der x-Potenz links anzupassen:

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} kx^k = \frac{x}{(1-x)^2} \end{align*}$ .

So, und nun willst du $\begin{align*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} k \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^k \end{align*}$ berechnen - was könnte man da nun tun? Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.02.2016, 16:28

sgfeew

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Oh man

Hammer

Danke für den Hinweis!
Dann ist das $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}^2} \end{eqnarray*}$
und somit 2 richtig?

15.02.2016, 16:31

HAL 9000

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Ja.

Freude

Kleiner "technischer" Hinweis: Man schreibt besser $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} \end{eqnarray*}$

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