Äquivalenzrelation wenn Bedingung gilt

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PaddyP Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation wenn Bedingung gilt
Ich habe hier folgende Aufgabe und möchte wissen, ob ich diese richtig verstehe und dementsprechend auch dann mit meinen Argumenten beweisen darf:
Aufgabe:
Es sei R eine nicht-leere, reflexive Relation auf der Menge A. Beweisen Sie, dass R genau dann eine Äquivalenzrelation auf A ist, wenn die folgende Bedingung gilt.


Verständnisfrage: Äquivalenzrelation heißt ja reflexivität, transitivität und Symmetrie. Die Reflexivität ist ja gegeben. Darf ich jetz aber auch sagen, dass die Symmetrie gegeben ist, wenn das eine Äquivalenzrelation ist? Weil ich könnte ja dann damit argumentieren, dass (c,b) (wg. Symmetrie, also (b,c) steht in der Bedingung) enthalten ist und ich dadurch die transitivität erhalte, nämlich



Edit: Kurzgesagt, darf ich dann sagen, "wenn R eine Äquivalenzrelation ist, dann gilt:...", also dass ich damit die Bedingung nachweise?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation wenn Bedingung gilt
Zitat:
Original von PaddyP
Darf ich jetz aber auch sagen, dass die Symmetrie gegeben ist, wenn das eine Äquivalenzrelation ist?

Nun ja, wenn das Äquivalenzrelation ist, dann ist ja auch schon die Transitivität gegeben. Aber genau diese (also Symmetrie und Transitivität) sind ja noch zu zeigen, weil man eben noch nicht weiß, daß es eine Äquivalenzrelation ist. smile
 
 
PaddyP Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh, ich denke ich verstehe, d.h: Mit dieser Bedingung beweise ich die Symmetrie dadurch dann, dass es dann das gibt, was in der Bedingung steht und dann natürlich noch, dass ich mit der Bedingung sage:


und analog die Transitivität, wieder das was in der Bedingung steht und:


(a,a) und (c,c) gilt wegen reflexivität. Die Bedingung für Transitivität wäre ja dann erfüllt, weil


dann genau die Transitivität beschreibt.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PaddyP
Ahh, ich denke ich verstehe, d.h: Mit dieser Bedingung beweise ich die Symmetrie dadurch dann, dass es dann das gibt, was in der Bedingung steht und dann natürlich noch, dass ich mit der Bedingung sage:


und analog die Transitivität, wieder das was in der Bedingung steht und:


(a,a) und (c,c) gilt wegen reflexivität. Die Bedingung für Transitivität wäre ja dann erfüllt, weil

dann genau die Transitivität beschreibt.

Vom Gedanken her geht es in die richtige Richtung, allerdings paßt es im Detail noch nicht zusammen. Zum Beispiel ist zwar die Folgerung:

korrekt, aber im Grunde auch banal, da ja links schon vorausgesetzt wird.

Du kannst damit auch nicht die Transitivität folgern, da ja nirgends vorausgesetzt wurde. Ich würde auch erst mal mit dem Nachweis der Symmetrie beginnen.
PaddyP Auf diesen Beitrag antworten »

Das (a,b) sollte ja durch die Bedingung vorausgesetzt sein, deswegen meine Aussage "Das was in der Bedingung steht und..."

Ich dachte dabei, dass die gegebene Bedingung als gültig anzusehen ist, und damit dann anschließen Symmetrie und Transitivität gezeigt werden soll.

Also hab ich gesagt, dass auch dann folgen muss: und damit dann die Bedingung auf alle a,b,c anwenden und zeigen kann, was sich dadurch erzeugen lässt und warum die Voraussetzungen einer Äquivalenzrelation erfüllt sind.

Da ja dann folgt daraus Symmetrie.
PaddyP Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist soeben noch etwas auf- bzw. eingefallen:

Die Bedingung darf ich ja verwenden (und ihre Elemente, also ) oder?
Dann kann ich doch die Äquivalenzrelation damit beweisen:

Ich weiß, dass, aufgrund der Reflexivität, enthalten sein muss.
Also kann ich doch folgendermaßen Symmetrie nachweisen:


=> Damit wären (a,b) und (b,a) in R also symmetrisch.

Transitivität:

...und damit die Kriterien erfüllt.

Stimmt das, oder bin ich auf dem falschen Dampfer?
Vielen Dank übrigens smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Auch da bist du wieder auf dem falschen Dampfer. Du mußt dir bei jedem Beweis genauestens vergegenwärtigen, was gegeben und was zu zeigen ist.

Bei der Symmetrie:
Gegeben: und die Reflexivität sowie die Implikation

Zu zeigen:

Beweis: wegen der Reflexivität ist .
Aus der obigen Implikation folgt dann: q.e.d.

Und jetzt versuche das mal analog für die Transitivität. smile
PaddyP Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, das macht Sinn. Dennoch: Ich weiß nicht so genau ob wie ich die Transitivität beweisen soll. Also ich könnte ja bspw. die Elemente aus der Bedingungen hernehmen (da gegeben), und damit dann doch zeigen.

Mir würde aber auch einfallen (da die Symmetrie bewiesen worden ist und Reflexivität gilt):


Nur ab wann gilt dass dann als Beweis? Ich denke, mir fehlt die grundlegende Idee dahinter.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PaddyP
Ich denke, mir fehlt die grundlegende Idee dahinter.

Die grundlegende Idee ist erst mal, daß du eine Implikation beweisen sollst. Und bei der Implikation "==>" steht links die Ausgangssituation (das ist also gegeben) und rechts, was zu folgern ist.

Zitat:
Original von PaddyP
Mir würde aber auch einfallen (da die Symmetrie bewiesen worden ist und Reflexivität gilt):


Ist ja nett. Aber zum einen gilt aufgrund der Reflexivität immer und zum anderen ist das noch weit weg von der Transitivitäts-Aussage, die du eine Zeile vorher noch hingeschrieben hattest.
PaddyP Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Ist ja nett. Aber zum einen gilt aufgrund der Reflexivität immer und zum anderen ist das noch weit weg von der Transitivitäts-Aussage, die du eine Zeile vorher noch hingeschrieben hattest.


Diese Zeile waren die Elemente aus der Aufgabenbedingung. Ich dachte - um auch die Transitivität der Bedingung nachzuweisen - dass diese Elemente dem Gesetz der Transitivität folgen und sich dementsprechend so schreiben lassen. Diese Elemente müssen ja Teil der Relation R sein, da sich sonst diese Aufgabenbed. sich nicht aufstellen lässt.

Eins hätte ich noch anzubieten, stehe aber dann total auf dem Schlauch:

Transitivität der Aufgabenbedingung:
Aus Aufgabenbed. => Element .
Durch Symmetriebeweis folgt: .
Da und Symmetrie gilt, ist auch
(a,a) gilt wegen Reflexivität.
Also folgt:
Transitivität:
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PaddyP
Da und Symmetrie gilt, ist auch
[/l]

Wieso ist ? Bei der Transitivität soll das ja gerade gezeigt werden.

Zitat:
Original von PaddyP
Also folgt:

Ich weiß jetzt nicht, was du damit sagen willst. verwirrt Daß ist, ist doch beim Nachweis der Transitivität ein Teil der Voraussetzungen. Daß muß nicht extra noch gezeigt werden. Irgendwie bist du anscheinend bezüglich der Frage, was vorausgesetzt wird und was zu zeigen ist, etwas unsortiert. Dabei ist doch die Sache total simpel:
Wegen ist auch . Aus und folgt mit Hilfe der Zusatzeigenschaft, daß ist.
PaddyP Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Ich weiß jetzt nicht, was du damit sagen willst. verwirrt Daß ist, ist doch beim Nachweis der Transitivität ein Teil der Voraussetzungen. Daß muß nicht extra noch gezeigt werden. Irgendwie bist du anscheinend bezüglich der Frage, was vorausgesetzt wird und was zu zeigen ist, etwas unsortiert.


Ja, da hänge ich etwas, schon richtig. Also:
Ich darf die Elemente in der Bedingung verwenden, da
(Also weil die einzelnen Elemente ). Ich weiß, dass die Transitivität ja normalerweise in der Form ist.

In der Aufgabe soll aber gezeigt werden, dass die Transitivität 'durch die Bedingung' gegeben ist, also sich eine Transitivität über dieser herleiten lässt. Ich soll also nicht den Weg über (a,b),(b,c),(a,c) zeigen, sondern über und zwar genau mit den Elementen, die in der Aufgabe gegeben sind (bzw. wenn ich Symmetrie nachweisen kann, darf ich das natürlich auch ausnutzen).

Ist das so richtig? (und nochmal herzlichsten Dank für die Erklärung) smile
PaddyP Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
...
Zitat:
Original von PaddyP
Also folgt:

Ich weiß jetzt nicht, was du damit sagen willst. verwirrt ...


Zum Post davor:
Ich wollte quasi die Elemente so haben, dass ich sie nach der allg. Definition der Transitivität anwenden kann.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PaddyP
Ich darf die Elemente in der Bedingung verwenden, da

Nein, nein, und nochmals nein. Es gilt nur, daß und sind.

Zitat:
Original von PaddyP
Ich soll also nicht den Weg über (a,b),(b,c),(a,c) zeigen

Da bist du eben im Irrtum. Die Transitivität ist so definiert:
und genau das (und nichts anderes) ist dann auch zu zeigen.

Zitat:
Original von PaddyP
Ich weiß, dass die Transitivität ja normalerweise in der Form ist.

Das ist leidlich korrekt. Genau muß es so lauten:
Und du weißt, wie eine Implikation zu lesen ist? Ich wiederhole es nochmal: alles, was links vom Implikationspfeil steht, darf als wahr angenommen werden. Alles, was rechts vom Implikationspfeil steht, muß bewiesen werden. Und für diesen Beweis darfst du bei dieser Aufgabe zusätzlich noch folgende Implikation verwenden:
(*)

Da wir ja zeigen müssen, daß ist, kann die Implikation (*) uns sehr dienlich sein. Wir müssen ja nur haben, daß und sind. Nun ist schon mal aufgrund der Transitivitätsvoraussetzung. Jetzt brauchen wir nur noch zeigen, daß auch ist, damit wir die Implikation (*) verwenden können.
PaddyP Auf diesen Beitrag antworten »

folgt aus der bewiesenen Symmetrie von der Relation, so dass die Implikation verwendet werden kann... wäre mein Vorschlag.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt. Freude
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