Reihe aus dem Integral ziehen

11.02.2016, 17:47

iKeek

Reihe aus dem Integral ziehen

Meine Frage:
Ich möchte folgendes Integral berechnen:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} (x^{-c}-x^c) \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n dx \end{eqnarray*}$ , c ist dabei 0<c<1

Also ich kenne die Lösung, muss den Weg aber genau beschreiben für ein Seminar.
Dabei soll ich den hinteren Teil der Summe abschätzen, ich kann diesen durch Indexverschiebung wieder über Taylor mit 1/(1+x) ersetzen, weiß aber nicht warum und wie ich dann abschätzen darf, da mir das theoretische wissen fehlt.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 (x^{-c}-x^c) \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n+x^n = \int_0^1 (x^{-c}-x^c) \sum_{n=0}^{m} (-1)^n x^n + \int_0^1 (x^{-c}-x^c) \sum_{m=n+1}^{\infty}(-1)^m x^m \end{eqnarray*}$

LaTeX-End-Tag repariert (/latex statt \latex).
Und zweiten Beitrag mit Korrektur gelöscht, damit's nicht so aussieht, als ob es schon Antworten gibt.
Steffen

11.02.2016, 18:34

Guppi12

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Hallo iKeek,

du bist da mit den Indize durcheinandergekommen und hast ein Plus mit einem Mal verwechselt. Es muss natürlich

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 (x^{-c}-x^c) \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^nx^n = \int_0^1 (x^{-c}-x^c) \sum_{n=0}^{m} (-1)^n x^n + \int_0^1 (x^{-c}-x^c) \sum_{n=m+1}^{\infty}(-1)^n x^n \end{eqnarray*}$

lauten.

Soweit so gut. Nun müsstest du aber mal sagen, was du überhaupt machen willst. Sonst kann man dir schlecht helfen. Einfach wild drauf los Abschätzen kann ja schlecht das Ziel sein, du willst damit ja irgendwo hin. Wenn du die Lösung kennst, kannst du die ja vielleicht mit uns teilen, dann kannst du eine konkrete Frage stellen, wo du etwas nicht verstehst.

11.02.2016, 20:54

iKeek

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Oh ja vielen Dank, waren zum Glück nur Schreibfehler.

Also ich möchte gerne hier hin:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \int_{0}^{1} x^{n-c}-x^{n+c} dx \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich jedoch nicht einfach die unendliche summe vor das Integral ziehen, deshalb muss ich meines Wissens die Reihe abschätzen können.

Deshalb teile ich sie in den endlichen teil, der mir keine Probleme macht und einen unendlichen, den ich dann gegen 0 abschätze.
Leider ist genau hier mein Problem
1. Wie schätze ich das ganze gegen 0 ab und
2. Warum muss ich das tun?

Vielen dank für die Mühen

11.02.2016, 21:21

iKeek

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Hier noch mal alle Zwischenschritte die ich bisher gemacht habe und soweit auch nachvollziehe bis aus
1. warum das mit der geschweiften klammer gegen 0 geht und
2. warum ich das zeigen muss und
3. damit dann sagen kann das die Reihe über das Integral das gleiche ist wie das Integral über die Reihe.

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 (x^{-c}-x^c) \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^nx^n = \int_0^1 (x^{-c}-x^c) \sum_{n=0}^{m} (-1)^n x^n + \int_0^1 (x^{-c}-x^c) \sum_{n=m+1}^{\infty}(-1)^n x^n \\ = \sum_{n=0}^m \int_0^1 (x^{-c}-x^c) (-1)^nx^n dx + \int_0^1(x^{-c}-x^c) \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+m+1}x^{n+m+1} dx\\ = \sum_{n=0}^m \int_0^1 (x^{-c}-x^c) (-1)^nx^n dx + \int_0^1 (x^{-c}-x^c) (-1)^{m+1}x^{m+1} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}x^{n}dx \\ = \sum_{n=0}^m \int_0^1 (x^{-c}-x^c) (-1)^nx^n dx + \int_0^1 \underbrace{(x^{-c}-x^c) (-1)^{n+1}x^{n+1} \frac{1}{1+x}}_{\to 0, n \to \infty \text{, denn:}} dx \end{eqnarray*}$

12.02.2016, 01:33

Guppi12

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Ok, kommen wir erstmal zu dieser Frage:

Zitat:

2. Warum muss ich das tun?

Solche Fragen finde ich immer etwas seltsam. Man tut es, weil es funktioniert. Wenn du einfach nichts tust und die Aufgabe nur anstarrst, löst sie sich ja nicht von selbst Augenzwinkern

Du möchtest die Summe mit dem Integral vertauschen, also musst du dir einen Weg überlegen, warum das erlaubt ist. Einfach so ist es nicht erlaubt, man muss es beweisen und dies ist eben eine Möglichkeit das zu tun. Die passendere Frage wäre vielleicht eher, warum dies die Vertauschbarkeit zeigt. Zunächst dazu ein Wort:

Es gilt ja $\begin{eqnarray*} \int_0^1 (x^{-c}-x^c) \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^nx^n\mathrm dx = \int_0^1 (x^{-c}-x^c) \sum_{n=0}^{m} (-1)^n x^n\mathrm dx + \int_0^1 (x^{-c}-x^c) \sum_{n=m+1}^{\infty}(-1)^n x^n\mathrm dx \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Dann gilt insbesondere auch

$\begin{eqnarray*} \lim_{m\to\infty}\left(\int_0^1 (x^{-c}-x^c) \sum_{n=0}^{m} (-1)^n x^n\mathrm dx + \int_0^1 (x^{-c}-x^c) \sum_{n=m+1}^{\infty}(-1)^n x^n\mathrm dx\right)=\int_0^1 (x^{-c}-x^c) \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^nx^n\mathrm dx \end{eqnarray*}$ , denn links steht ja eine konstante Folge. Wenn du jetzt zeigen kannst, dass der Limes des rechten Summanden alleine für $\begin{eqnarray*} m\to\infty \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ konvergiert, rechtfertigt dies das Auseinanderziehen des Grenzwertes, sodass wir

$\begin{eqnarray*} \lim_{m\to\infty}\left(\int_0^1 (x^{-c}-x^c) \sum_{n=0}^{m} (-1)^n x^n\mathrm dx\right) = \int_0^1 (x^{-c}-x^c) \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^nx^n\mathrm dx \end{eqnarray*}$ erhalten. Und jetzt vergewissere dich davon, dass links genau das steht, was du haben willst.

Es bleibt also eigentlich nur die Frage, warum die geschweifte Klammer gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ konvergiert. Dazu morgen mehr, ich bin im Moment zu müde. Vielleicht kommst du ja bis dahin auch selbst drauf smile

12.02.2016, 10:50

iKeek

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okay, vielen dank für deine erste Hilfe, das Thema Reihen ist scheinbar einfach zu lange her bei mir smile

also kann ich das ganze,wenn ich das richtig verstanden hab schon mal so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{m \to \infty} \left(\int_0^1 (x^{-c}-x^c) \sum_{n=0}^{m} (-1)^n x^n dx+ \int_0^1 (x^{-c}-x^c) \sum_{n=m+1}^{\infty}(-1)^n x^n dx \right) \\ =\lim_{m \to \infty} \left( \sum_{n=0}^m \int_0^1 (x^{-c}-x^c) (-1)^nx^n dx + \int_0^1(x^{-c}-x^c) \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+m+1}x^{n+m+1} dx \right)\\ =\lim_{m \to \infty} \left( \sum_{n=0}^m \int_0^1 (x^{-c}-x^c) (-1)^nx^n dx + \int_0^1 (x^{-c}-x^c) (-1)^{m+1}x^{m+1} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}x^{n}dx \right) \\ =\lim_{m \to \infty} \left( \sum_{n=0}^m \int_0^1 (x^{-c}-x^c) (-1)^nx^n dx + \int_0^1 \underbrace{(x^{-c}-x^c) (-1)^{m+1}x^{m+1} \frac{1}{1+x}}_{\to 0, m \to \infty \bigstar} dx \right) \end{eqnarray*}$

Also wäre ich bei
$\begin{eqnarray*} \lim_{m\to \infty} \int_0^1 (x^{1-c}-x^{1+c}) * \frac{x^m}{1+x}dx \end{eqnarray*}$

Gibt es jetzt einen "einfachen" weg, oder muss ich mich an einer Stammfunktion versuchen?
Meine Idee wäre jetzt über die Integralgrenzen zu argumentieren, da x zwischen 0 und 1 liegt...

12.02.2016, 11:08

HAL 9000

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Du kannst das ja weiter "runterbrechen", indem du

$\begin{align*} \lim_{\alpha\to\infty} \int\limits_0^1 \frac{x^{\alpha}}{1+x} ~ \dd x = 0 \end{align*}$

zeigst. Sollte an sich kein Problem sein, denn die Majorantenabschätzung $\begin{align*} \frac{x^{\alpha}}{1+x}\leq x^{\alpha} \end{align*}$ für $\begin{align*} x\geq 0 \end{align*}$ liegt doch auf der Hand, und für diese Majorante haben wir ja $\begin{align*} \int\limits_0^1 x^{\alpha} ~ \dd x = \frac{1}{\alpha+1} \to 0 \end{align*}$ für $\begin{align*} \alpha\to\infty \end{align*}$ .

P.S.: Ich beziehe mich jetzt nur auf diese letzte Fragestellung - die ganze Vorgeschichte hier im Thread habe ich nicht durchgelesen. Augenzwinkern

12.02.2016, 11:38

iKeek

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Danke für deine Antwort.

Warum muss ich den Teil $\begin{eqnarray*} x^{1-c}-x^{1+c} \end{eqnarray*}$ im Integral nicht weiter beachten?
Dieser hängt zwar nicht von m ab, aber aus dem Integral ziehen darf ich ihn ja eigentlich nicht, da stehe ich noch etwas auf dem Schlauch.

12.02.2016, 12:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von iKeek
Warum muss ich den Teil $\begin{eqnarray*} x^{1-c}-x^{1+c} \end{eqnarray*}$ im Integral nicht weiter beachten?

Es wird beachtet. Forum Kloppe

$\begin{align*} x^{1-c}\cdot x^m = x^{m+1-c} \end{align*}$

$\begin{align*} x^{1+c}\cdot x^m = x^{m+1+c} \end{align*}$

Alles ein Aufwasch, wenn ich allgemeine reelle Exponenten $\begin{align*} \alpha\to\infty \end{align*}$ betrachte (einmal $\begin{align*} \alpha=m+1-c \end{align*}$ und dann nochmal $\begin{align*} \alpha=m+1+c \end{align*}$ ).

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