Integral für untere Halbebene

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Tergo7 Auf diesen Beitrag antworten »
Integral für untere Halbebene
Hallo liebes Matheboard,

stehe vor folgender Aufgabe:

, wobei den Teil von |z|=1 (positiv orientiert parametrisiert, der in der unteren Halbebene liegt.

Könnt ihr mir einen Anstoß geben? Offenbar habe ich es ja wieder mit einem Kreis-Linien-Integral zu tun, oder?
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral für untere Halbebene
Der Tipp waere, dass der Integrand eine Stammfunktion hat. Damit haengt das Integral nur von Anfangs- und Endpunkt des Weges ab. Die Rechnung selber geht wie mit dem Hauptsatz im Reellen.
Tergo7 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral für untere Halbebene
Die Stammfunktion des Integranden lautet:



Nur, wie geht es dann weiter? Welchen Hauptsatz im Reellen meinst du? Bzw. woher kenne ich den Weg, den die Kurve in der unteren Halbebene zurücklegt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Steht alles da:

Zitat:
Original von Tergo7
wobei den Teil von |z|=1 (positiv orientiert parametrisiert, der in der unteren Halbebene liegt.

... Teil des Einheitskreises

der in der unteren Halbebene liegt ... was mit dem nicht erklärten gemeint ist ignoriere ich mal, maßgeblich ist wohl "untere Halbebene"

positiv orientiert ... es wird "linksrum" entlang dieses Kreisbogens gefahren

Damit ist dann klar, dass der Integrationsweg bei anfängt, den unteren Halbkreis (negativer Imaginärteil) entlang verläuft und bei endet. Der Integralwert ist bei dieser ganzen Integrandenfunktion wie hier dann gemäß Cauchyschem Integralsatz unabhängig vom konkreten Weg einfach gleich .
Tergo7 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die negative Orientierung gefragt wäre, würde ich das Integral dann von z_a=1 bis z_e=-1 laufen lassen, richtig?
Wie würden denn die Bedingungen dann für die obere Halbebene lauten? geschockt
Tergo7 Auf diesen Beitrag antworten »

Für die untere Halbebene würde das Ergebnis dann sein: 1,68.

Nur, wie sieht es für die obere Halbebene aus? Einfach anders herum integrieren?

Das F_Z sieht in der eigentlich Aufgabe anders aus und eher wie ein verschnörkeltes F. Big Laugh
 
 
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