Integral für untere Halbebene

11.02.2016, 17:42

Tergo7

Integral für untere Halbebene

Hallo liebes Matheboard,

stehe vor folgender Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma }^{} \! (z^2+sin(z)) \, dz \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ den Teil von |z|=1 (positiv orientiert parametrisiert, der in der unteren Halbebene $\begin{eqnarray*} F_z \leq 0 \end{eqnarray*}$ liegt.

Könnt ihr mir einen Anstoß geben? Offenbar habe ich es ja wieder mit einem Kreis-Linien-Integral zu tun, oder?

11.02.2016, 22:10

005

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RE: Integral für untere Halbebene
Der Tipp waere, dass der Integrand eine Stammfunktion hat. Damit haengt das Integral nur von Anfangs- und Endpunkt des Weges ab. Die Rechnung selber geht wie mit dem Hauptsatz im Reellen.

12.02.2016, 13:22

Tergo7

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RE: Integral für untere Halbebene
Die Stammfunktion des Integranden lautet:

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{3} *z^{3} - \cos(z) \end{eqnarray*}$

Nur, wie geht es dann weiter? Welchen Hauptsatz im Reellen meinst du? Bzw. woher kenne ich den Weg, den die Kurve in der unteren Halbebene zurücklegt?

12.02.2016, 14:24

HAL 9000

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Steht alles da:

Zitat:

Original von Tergo7
wobei $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ den Teil von |z|=1 (positiv orientiert parametrisiert, der in der unteren Halbebene $\begin{eqnarray*} F_z \leq 0 \end{eqnarray*}$ liegt.

$\begin{align*} |z|=1 \end{align*}$ ... Teil des Einheitskreises

der in der unteren Halbebene $\begin{eqnarray*} F_z \leq 0 \end{eqnarray*}$ liegt ... was mit dem nicht erklärten $\begin{eqnarray*} F_z \end{eqnarray*}$ gemeint ist ignoriere ich mal, maßgeblich ist wohl "untere Halbebene"

positiv orientiert ... es wird "linksrum" entlang dieses Kreisbogens gefahren

Damit ist dann klar, dass der Integrationsweg bei $\begin{align*} z_a=-1 \end{align*}$ anfängt, den unteren Halbkreis (negativer Imaginärteil) entlang verläuft und bei $\begin{align*} z_e=1 \end{align*}$ endet. Der Integralwert ist bei dieser ganzen Integrandenfunktion wie hier dann gemäß Cauchyschem Integralsatz unabhängig vom konkreten Weg einfach gleich $\begin{align*} F(z_e)-F(z_a) \end{align*}$ .

12.02.2016, 15:59

Tergo7

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Wenn die negative Orientierung gefragt wäre, würde ich das Integral dann von z_a=1 bis z_e=-1 laufen lassen, richtig?
Wie würden denn die Bedingungen dann für die obere Halbebene lauten? geschockt

13.02.2016, 12:45

Tergo7

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Für die untere Halbebene würde das Ergebnis dann sein: 1,68.

Nur, wie sieht es für die obere Halbebene aus? Einfach anders herum integrieren?

Das F_Z sieht in der eigentlich Aufgabe anders aus und eher wie ein verschnörkeltes F. Big Laugh

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Integral für untere Halbebene

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