Geradengleichungen: x UND y Achsenabschnitt

11.02.2016, 18:32

JoGie_

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Geradengleichungen: x UND y Achsenabschnitt

Meine Frage:
Hallo zusammen!

Wir haben als Aufgabe ein Arbeitsblatt bekommen, um unser Wissen über Geradengleichungen wieder etwas aufzufrischen.

Den Großteil der Aufgaben habe ich verstanden (z.B. "Bestimme die Gleichung der Geraden durch Punkte P und Q" oder "Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden", usw.)

Allerdings habe ich mit den Aufgaben
"Bestimme die Gleichung der Geraden mit dem x-Achsenabschnitt a und dem y-Achsenabschnitt b"
und
"Bestimme die beiden Achsenabschnitte a (x-Achse) und b (y-Achse) der folgenden Geraden"
Probleme.

Meine Ideen:
Die Grundformel, die uns vorgegeben wurde, lautet f(x)=m*x+b
(m=Steigung; b=y-Achsenabschnitt.

Nun geht es in den Aufgaben aber auch um den x-Achsenabschnitt - wie soll ich den herausfinden, wenn es ihn in der Formel nicht gibt? o_O Hier stecke ich irgendwie fest.

11.02.2016, 18:39

Helferlein

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Wie wäre es mit ausrechnen?
Die x-Achse wird bei y=0 geschnitten. Das setzt Du in die Gleichung ein und formst nach x um.

11.02.2016, 20:33

JoGie_

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Oh, die Idee hatte ich irgendwie gerade nicht im Kopf.. verwirrt

verwirrt

Danke dir

Big Laugh

12.02.2016, 06:35

Bürgi

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Guten Morgen,

nur eine Anmerkung am Rande:

Neben den "üblichen" Geradengleichungen gibt es noch die Achsenabschnittsform der Geradengleichung:

Wenn eine Gerade die Achsenschnittpunkte $\begin{eqnarray*} S_x(a \mid 0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_y(0 \mid b) \end{eqnarray*}$ hat, dann lautet die Gleichung der Geraden

$\begin{eqnarray*} \frac xa + \frac yb = 1 \end{eqnarray*}$

12.02.2016, 14:37

JoGie_

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Hallo nochmal,

ich habe immernoch Probleme, bespnders mit der folgenden Aufgabe:

Bestimme die Gleichung der Geraden mit dem x-Achsenabschnitt a und dem y-Achsenabschnitt b.
und dann bspw. a=5 b=-2

Wie mache ich das? Ich kann in die Formel f(x)=m*x+b doch nur den y-Achsenabschnitt b (-2) einsetzen, also
f(x)=m*x+(-2)
Was ist nun mit dem x-Achsenabschnitt?

Zitat:

Guten Morgen, nur eine Anmerkung am Rande: Neben den "üblichen" Geradengleichungen gibt es noch die Achsenabschnittsform der Geradengleichung: Wenn eine Gerade die Achsenschnittpunkte $\begin{eqnarray*} S_x(a \mid 0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_y(0 \mid b) \end{eqnarray*}$ hat, dann lautet die Gleichung der Geraden $\begin{eqnarray*} \frac xa + \frac yb = 1 \end{eqnarray*}$

Hilft mir das bei dieser Aufgabe z.B. weiter?
Das wäre dann ja bei mir $\begin{eqnarray*} \frac{x}{5} + \frac{y}{-2} = 1 \end{eqnarray*}$ richtig? Wir hatten diese Formel nämlich noch gar nicht..

12.02.2016, 15:11

Steffen Bühler

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Beim y-Achsenabschnitt b gilt ja x=0, deswegen funktioniert das auch mit dem Einsetzen: $\begin{align*} y=m \cdot 0 + b = b \end{align*}$ .

Genauso gilt aber beim x-Achsenabschnitt y=0! Also ist $\begin{align*} 0=m \cdot x +b \to m=- \frac bx \end{align*}$ .

Für Dein Beispiel (a=5; b=-2) ergibt sich also die Gerade $\begin{align*} y=- \frac 25 x -2 \end{align*}$ .

Bürgis Formel kannst Du hier genauso einsetzen: $\begin{align*} \frac x5 + \frac y{-2} = 1 \to \frac y{-2}=1-\frac x5 \to y = - \frac 25 x -2 \end{align*}$ .

Viele Grüße
Steffen

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12.02.2016, 15:47

JoGie_

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Beim y-Achsenabschnitt b gilt ja x=0, deswegen funktioniert das auch mit dem Einsetzen: $\begin{align*} y=m \cdot 0 + b = b \end{align*}$ .

Genauso gilt aber beim x-Achsenabschnitt y=0! Also ist $\begin{align*} 0=m \cdot x +b \to m=- \frac bx \end{align*}$ .

Für Dein Beispiel (a=5; b=-2) ergibt sich also die Gerade $\begin{align*} y=- \frac 25 x -2 \end{align*}$ .

Es wären doch eigentlich $\begin{eqnarray*} y=-\frac{-2}{5}x-2 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} y=+\frac{2}{5}x-2 \end{eqnarray*}$ oder?

Danke auf jeden Fall für die Erklärung.
Nun habe ich hier aber auch die Werte a=0; b=7 gegeben.
Nun müsste es doch eigentlich sein:
$\begin{eqnarray*} y=- \frac{7}{0}x+7 \end{eqnarray*}$
Aber man darf nicht durch 0 teilen. o_O

Achso, und noch etwas..
Laut deiner Erklärung gilt ja nun: $\begin{eqnarray*} m=- \frac bx \end{eqnarray*}$
Also: $\begin{eqnarray*} y=-\frac{b}{x}x+b \end{eqnarray*}$ Wieso wird nicht in beide x der Wert des x-Achsenabschnittes eingesetzt und ein x bleibt sozusagen "frei"?

12.02.2016, 15:59

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von JoGie_
Es wären doch eigentlich $\begin{eqnarray*} y=-\frac{-2}{5}x-2 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} y=+\frac{2}{5}x-2 \end{eqnarray*}$ oder?

Natürlich, das war mein Vorzeichenfehler, sorry:

Zitat:

Original von JoGie_
Nun habe ich hier aber auch die Werte a=0; b=7 gegeben.
Nun müsste es doch eigentlich sein:
$\begin{eqnarray*} y=- \frac{7}{0}x+7 \end{eqnarray*}$
Aber man darf nicht durch 0 teilen.

Ja, deswegen gibt es auch keine Geradenfunktion, die durch diese Achsenabschnitte, also (0;0) und (0;7) geht. Das wäre eine Gerade durch den Ursprung mit unendlicher Steigung, also eine Senkrechte.

Zitat:

Original von JoGie_
Laut deiner Erklärung gilt ja nun: $\begin{eqnarray*} m=- \frac bx \end{eqnarray*}$
Also: $\begin{eqnarray*} y=-\frac{b}{x}x+b \end{eqnarray*}$ Wieso wird nicht in beide x der Wert des x-Achsenabschnittes eingesetzt und ein x bleibt sozusagen "frei"?

Weil das x in der oberen Gleichung der feste Achsenabschnitt x=a ist und nicht die Variable x. Ich hatte kurz überlegt, ob ich gleich $\begin{eqnarray*} m=- \frac ba \end{eqnarray*}$ schreibe, wollte Dich aber nicht verwirren. Ist mir also trotzdem gelungen. Aber nun ist's klarer, oder?

Viele Grüße
Steffen

12.02.2016, 16:01

Helferlein

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Kurze Anmerkung: In der Aufgabenstellung ist aber nicht von Geradenfunktionen, sondern von Geraden die Rede. Es gibt also durchaus eine Lösung.

12.02.2016, 16:05

Steffen Bühler

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Ah, danke für den Hinweis. Gut für diesen Sonderfall, dass m Unendlich ist, also alle x-Werte der senkrechten Geraden denselben Wert (hier Null) haben, kann man dann auch eine Geradengleichung angeben. Kannst Du Dir denken, welche?

12.02.2016, 16:31

JoGie_

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Ah, danke für den Hinweis. Gut für diesen Sonderfall, dass m Unendlich ist, also alle x-Werte der senkrechten Geraden denselben Wert (hier Null) haben, kann man dann auch eine Geradengleichung angeben. Kannst Du Dir denken, welche?

Das würde ja heißen, dass die Steigung 0 beträgt, und jedem y-Wert der x-Wert 0 zugeordnet wird, also:
f(x)=0*x+0 => y=0x

Oh, und eine kleine Frage noch bezüglich unserer letzten Aufgabe:
Bestimme die beiden Achsenabschnitte a (x-Achse) und b (y-Achse) der folgenden Geraden.

bspw. g(x)=1/2x+2
Den y-Achsenabschnitt kann man ja sofort ablesen (steht am Ende; +2). Aber x-Achsenabschnitt kommt doch gar nicht in der Gleichung vor, oder? Also kann man auch nicht danach umstellen, oder? :o
//EDIT:
Doch, stimmt, kann man ja
(erst -2, also
-2=1/2x |*2
4=x)
Hat sich erledigt smile

smile

12.02.2016, 16:41

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von JoGie_
Das würde ja heißen, dass die Steigung 0 beträgt

Nein, das wäre dann eine horizontale Gerade. Wie zum Beispiel y=0. Da wird jedem x-Wert der y-Wert 0 zugeordnet.

Zitat:

Original von JoGie_
und jedem y-Wert der x-Wert 0 zugeordnet wird

Genau. Nur das. Und nun kehre meinen Satz oben um.

Was die Sache mit dem x-Achsenabschnitt betrifft, da kannst Du auch das genannte $\begin{eqnarray*} m=-\frac ba \to a=-\frac bm \end{eqnarray*}$ verwenden.

12.02.2016, 16:52

JoGie_

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Zitat:

Original von JoGie_
und jedem y-Wert der x-Wert 0 zugeordnet wird

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Genau. Nur das. Und nun kehre meinen Satz oben um.

Somit gibt es keine Steigung und es gilt also y=0 ?

12.02.2016, 16:58

Steffen Bühler

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Nein, die Steigung ist unendlich. Die Gerade y=0 hat dagegen die Steigung Null. Da liegen zum Beispiel die Punkte
(-2;0)
(-0.815;0)
(5;0)
(42;0)
drauf. Der x-Wert ist wurscht, nur der y-Wert muss Null sein, damit der Punkt auf der Geraden liegt. Also y=0.

Die Gerade, um die es hier geht, besteht nun aus lauter Punkten, bei denen der x-Wert Null ist! Also meinetwegen
(0;-4711)
(0;0)
(0;7)
(0;2016)
und so weiter. Und nun, wie gesagt, kannst Du meinen Satz oben entsprechend umdrehen.

12.02.2016, 17:13

JoGie_

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Ok, ich fasse es (für mich) noch einmal zusammen, ich glaube ich steh hier gerade auf dem Schlauch :P

Die Steigung ist unendlich. Es handelt es sich hier um eine Gerade, bei der jedem beliebigen y-Wert der x-Wert 0 zugewiesen wird (die Gerade läuft also senkrecht auf der y-Achse).

Somit:
x=0 ?
(Auch wenn ich hier die unendliche Steigung nicht berücksichtigt habe..)

Zitat:

Und nun, wie gesagt, kannst Du meinen Satz oben entsprechend umdrehen.

Welchen Satz meinst du genau?

12.02.2016, 18:28

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von JoGie_
x=0 ?
(Auch wenn ich hier die unendliche Steigung nicht berücksichtigt habe..)

Das ist richtig. Und diese Gerade kann, gerade wegen ihrer unendlichen Steigung, nicht mit y=mx+b beschrieben werden. Es ist ja auch keine Funktion, denn da bekäme ein x genau ein y zugewiesen.

So gesehen hast Du die unendliche Steigung sehr wohl berücksichtigt!

Zitat:

Welchen Satz meinst du genau?

Den hier:

Zitat:

Der x-Wert ist wurscht, nur der y-Wert muss Null sein, damit der Punkt auf der Geraden liegt. Also y=0.

Mit umdrehen ist gemeint, x und y zu vertauschen.

Viele Grüße
Steffen

12.02.2016, 18:49

JoGie_

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Achso, dann hab ich es ja verstanden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielen Dank noch einmal für deine Hilfe.. Hat mir wirklich weitergeholfen :]

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