Anzahl von Zahlen mit bestimmten Kriterien bestimmen |
| 11.02.2016, 23:16 | loci | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Anzahl von Zahlen mit bestimmten Kriterien bestimmen ich gehe gerade Aufgaben zum Lernen durch, zu denen ich Lösungen habe. Nun sind meine eigenen Ansätze leider falsch gewesen, verstehe aber noch nicht so ganz wieso. Teilweise ist mir auch noch nicht klar, wann exakt ich den Binomialkoeffizienten brauche und wann die Fakultät. Als Beispiel habe ich eine vierstellige Zahl, die ungerade sein muss, und ferner darf sie nur positiv sein und keine Ziffer soll doppelt vorkommen. Ich habe mich daran gemacht und dachte, es wäre clever, von vorn nach hinten durchzugehen. Die erste Ziffer darf keine Null sein da sie sonst nicht vierstellig wäre, also 9! da ich irgendeine von 1-9 wählen darf, dann zweite Ziffer dachte ich "darf ja auch wieder 9! sein da 0 nun erlaubt ist" macht 9!+9! dritte Ziffer macht dann 8! da zwei Zahlen aufgebraucht sind, und als letztes wähle ich eine spezifische Zahl aus 5 ungeraden Zahlen aus, daher Binomialkoeffizient mit 5 über 5. Im Endeffekt also 9!+9!+8!+(5 über 5). Leider ist das total der Müll, denn es kommt angeblich auf die Reihenfolge an, da man sonst die letzte Stelle nicht mehr bestimmen könne. (Warum??) Ferner sind die Fakultäten falsch und es kommt auch 5*8*8*7 raus. 5 ist die erste Ziffer, 8 die letzte, 8 und 7 sind die 2. und 3. Stelle. Das verstehe ich irgendwie nicht. Wieso keine Fakultät? Wieso Reihenfolge wichtig und wieso für die letzte Ziffer 8 Möglichkeiten? Die Zahl soll doch ungerade sein und ich kann nur 1, 3, 5, 7, 9, auswählen. Macht für mich 5 Zahlen... |
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| 12.02.2016, 07:20 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich versuche nicht zu erklären, warum deine oder eine andere Lösung falsch ist - ich gehe eher den konstruktiven Weg, die richtige Lösung zu erklären: Faktor 5 steht nicht für die erste, sondern die letzte Stelle: Die muss nämlich ungerade sein, wenn die Gesamtzahl ungerade sein soll, dafür gibt es eben die 5 Möglichkeiten 1,3,5,7,9. Es verbleiben 9 Ziffern zur Wahl der anderen Stellen, darunter auch die Ziffer 0. Als nächstes wählen wir die erste Stelle. Die darf nicht 0 sein, sonst ist die Zahl nicht wirklich vierstellig, also gibt es nur 8 statt 9 Ziffern hier zur Auswahl. Es verbleiben danach noch 8 Ziffern zur Wahl der restlichen beiden Stellen (d.h. zweite und dritte Stelle). Nun wählen wir die zweite Stelle. Es sind 8 Ziffern zur Wahl (inklusive Ziffer 0), alle dürfen wir wählen. Schlussendlich wählen wir die dritte Stelle. Es sind 7 Ziffern noch zur Wahl, alle dürfen wir wählen. Also gibt es 5*8*8*7=2240 mögliche solche Zahlen. Jetzt kannst du natürlich noch fragen: Warum betrachtet man die Stellen in dieser "komischen" Reihenfolge erst letzte, dann erste Stelle? Weil diese Reihenfolge gewährleistet, dass man zwischendurch nicht eine eklige Fallunterscheidung machen muss! Nimmt man nämlich die letzte Stelle auch als letztes, dann hängt die Anzahl der wählbaren Ziffern davon ab, wieviel ungerade Ziffern bereits an den Stellen 1,2,3 gewählt wurden - unangenehm. Um also eine Fallunterscheidung basierend auf der Vorgeschichte der anderen Stellen zu vermeiden, wählen wir die letzte Stelle als erstes, da ist noch die gesamte Ziffernmenge verfügbar inklusive aller 5 ungeraden Ziffern. Ebenso vorteilhaft ist es, als nächstes die erste Stelle zu wählen: Nimmt man sich nämlich vorher die zweite oder dritte Stelle (oder beide) vor, dann hängt die Anzahl der Wahlmöglichkeiten für die erste Stelle davon ab, ob die Ziffer 0 als zweite bzw. dritte Stelle gewählt wurde oder nicht - wieder eine Fallunterscheidung, sollte man nach Möglichkeit vermeiden. Fakultäten braucht man hier nicht: Von Stelle zu Stelle - wie oben betrachtet - wählt man jeweils nur eine Ziffer aus einer zur Verfügung stehenden Menge. Es ist doch eine vollkommen andere Situation, ein Element aus auszuwählen statt alle Elemente anzuordnen! Außerdem sollte man gelegentlich auch den Gesunden Menschenverstand einschalten, bevor man allen Ernstes Resultate wie und ähnlich hohe Zahlen vorschlägt: Es geht hier um vierstellige Zahlen, d.h. von 1000...9999, davon gibt es nur 9000 Zahlen, d.h., die gesuchte Anzahl muss auf jeden Fall kleiner als 9000 sein. Größere Zahlen vorzuschlagen ist also von vornherein totaler Unsinn. |
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