Martingal und Fast Sichere Konvergenz

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CB1 Auf diesen Beitrag antworten »
Martingal und Fast Sichere Konvergenz
Hallo Matheboard,

ich habe folgende Aufgaben:

Sei iid mit für alle .
a) Zeige ist ein Martingal bzgl
b) Zeige für f.s.

zu a)
M1) ist an adaptiert, denn und und ist die kleinste Sigmaalgebra für die messbar sind.

M2)

M3)

Fragen:
Ist alles gut begründet und richtg gemacht worden?
Die Multiplikation bei M2 darf ich doch aus dem Erwartungswert nehmen, weil die unabhängig und positiv sind, oder?

zu b) Hier weiß ich nicht wie ich anfangen soll, ich kenne die Definition der fast sicheren Konvergenz, aber wahrscheinlich muss man irgendwie ausnutzen, dass hier ein Martingal vorhanden ist, oder? Kann mir jemand eine Starthilfe geben?

Danke im voraus!!!!

Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen, diesen gelöscht, damit Antwortzähler auf Null steht. Steffen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
Nachweisidee (ohne Martingale)
Ich würde die Zufallsgröße betrachten, dann ist . Nun gilt gemäß Jensenscher Ungleichung angewandt auf die streng konkave Logarithmusfunktion



und Gleichheit gilt genau dann, wenn konstant ist. Ist es aber nicht wegen Voraussetzung , also gilt in (*) echt >, und damit zusammen mit dann . Behauptung b) folgt damit sofort aus dem (schwachen) Gesetz der großen Zahlen.
CB1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal9000,

Vielen Dank für deine Antwort.
In der Vorlesung haben wir die Jensche Ungleichung nur für konvexe Funktionen definiert.

Kennst du noch eine andere Mögichkeit?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von CB1
In der Vorlesung haben wir die Jensche Ungleichung nur für konvexe Funktionen definiert.

Und deswegen gibst du den Weg auf? Finger1

ist genau dann (streng) konkav, wenn (streng) konvex ist.
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