Grenzwertbestimmen mit l'Hospital

12.02.2016, 14:24

KitKat120

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Grenzwertbestimmen mit l'Hospital

Meine Frage:
Hallo,

ich habe etwas Probleme bei der Aufgabe.
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x-sin(x)}{x(1-cos(x))} \end{eqnarray*}$
Ich habe schon etwas rumprobiert, bekomme es aber leider nicht hin. Vllt kann mir ja jemand helfen. Ich wäre sehr dankbar.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x-sin(x)}{x(1-cos(x))} \end{eqnarray*}$
das kann ich ja wegen "0/0" nach l'hospital umfromen zu:
$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x)}{(1-cos(x))+x*sin(x)} <br /> \end{eqnarray*}$
und das könnte ich dann doch wieder umformen zu:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{2*sin(x)+x*(-cos(x))} \end{eqnarray*}$
und dann könnt ich ja dies nochmal umformen :
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{cos(x)}{cos(x)+x*(sin(x))} \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt x gegen 0 laufen lasse müsste es doch gegen 1 gehen oder? weil cos(0)=1 ist und der sin(0)=0 oder liege ich da falsch? habe ich mich irgendwo verrechnet?

12.02.2016, 14:37

klauss

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RE: Grenzwertbestimmen mit l'Hospital
Scheint mir, Du hast als Ableitung von sin(x) minus cos(x) genommen. Richtig ist aber plus cos(x).
Wenn Du das berichtigst, ergibt sich im nächsten Durchgang der Grenzwert.

12.02.2016, 14:39

Xbf

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Hallo,
im Prinzip ist schon mal alles richtig. Bloß hier ist ein Vorzeichenfehler:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{2*sin(x)+x*(\textcolor{red}{+}cos(x))} \end{eqnarray*}$

Dann wieder l'Hospital anwenden und im Nenner sollte anschließend eine 3 auftauchen smile

smile

Viele Grüße
Xbf

12.02.2016, 15:03

HAL 9000

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Eine Alternative wäre die Potenzreihenbetrachtung: Mit $\begin{align*} \sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5) \end{align*}$ und $\begin{align*} \cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+O(x^4) \end{align*}$ folgt

$\begin{align*} \frac{x-\sin(x)}{x(1-\cos(x))} = \frac{x-\left(x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)\right)}{x\left(1-\left(1-\frac{x^2}{2}+O(x^4)\right)\right)} = \frac{\frac{x^3}{6}+O(x^5)}{\frac{x^3}{2}+O(x^5)} = \frac{1+O(x^2)}{3+O(x^2)} = \frac{1}{3}+O(x^2) \end{align*}$ .

Setzt natürlich die Kenntnis der Landau-Symbolik O(...) voraus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.02.2016, 15:15

KitKat120

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Okay vielen Dank euch smile

smile

Mir ist gerade noch eine Frage gekommen und zwar ist der Limes wenn ich x gegen 0 laufen lasse und die Werte zwischen drin schwanken also mal -1, 1 annehmen, aber kurz vor 0 gegen 0 laufen der limes trozdem null?
Und limes für x gegen 0 ex. nur nicht wenn es gegen unendlich oder minusunendlich läuft? oder der rechts- bzw. linksseitige limes nicht übereinstimmen?

Vllt könntet ihr mir ja die Frage beantworten smile

smile

12.02.2016, 15:19

KitKat120

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Ist die Landau Symbolik, sowas wie das Taylorpolynom mit lagranschen Restglied?

oder wie kommt man auf das, was in der Klammer von O( ) steht?

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12.02.2016, 15:27

HAL 9000

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Ich hatte extra geschrieben

Zitat:

Original von HAL 9000
Setzt natürlich die Kenntnis der Landau-Symbolik O(...) voraus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

um solche Fragen nicht beantworten zu müssen. Nun gut, salopp formuliert:

$\begin{align*} O(x^4) \end{align*}$ erfasst alle Potenzen $\begin{align*} x^4 \end{align*}$ und höher der Potenzreihenentwicklung usw.

12.02.2016, 15:41

KitKat120

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okay danke smile

smile

12.02.2016, 16:08

KitKat120

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Ich habe noch eine weitere Aufgabe, wo ich hänge. Das hab ich bis jetzt gemacht:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} cot(x)-\frac{1}{x} =<br /> \lim_{x \to 0} \frac{x*cot(x)-1}{x} =<br /> \lim_{x \to 0} \frac{x*(\frac{cos(x)}{sin(x)})-1}{x} \end{eqnarray*}$
aber da kann ich doch l'hospital gar nicht drauf anwenden oder liege ich da falsch ?

12.02.2016, 16:26

HAL 9000

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Du könntest als nächstes mit $\begin{align*} \sin(x) \end{align*}$ erweitern, d.h., es geht dann um $\begin{align*} \lim_{x \to 0} \frac{x\cos(x)-\sin(x)}{x\sin(x)} \end{align*}$ . Und nun L'Hospital, oder was auch immer.

12.02.2016, 16:37

KitKat120

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okay vielen dank smile

smile

Bei der Aufgabe komm ich auch nich wirklich weiter:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[4]{x}-1}{\sqrt[3]{x^{4} }- \sqrt[3]{x^{4} } } \end{eqnarray*}$
´
ich hab es dann l'hospital angewendet und komme auf:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{4}*x^{-3/4} }{\frac{4}{3}*x^{\frac{1}{3} } - \frac{4}{3}*x^{\frac{1}{3} } } \end{eqnarray*}$

aber eigentlich kommt dann ja im Nenner 0 raus, aber ich darf ja nich durch null teilen. Hab ich wieder was falsch gemacht traurig

traurig

12.02.2016, 16:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von KitKat120
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[4]{x}-1}{\sqrt[3]{x^{4} }- \sqrt[3]{x^{4} } } \end{eqnarray*}$

Schau nochmal nach, was da wirklich im Nenner steht. unglücklich

unglücklich

12.02.2016, 16:46

KitKat120

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Wenn ich doch 1 einsetze kommt null raus oder? Hab ich mich jetzt irgendwo verrechnet. Ich versteh ja schon nicht, wieso eig von Anfang an unten im Nenner 0 steht traurig

traurig

12.02.2016, 16:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von KitKat120
Ich versteh ja schon nicht, wieso eig von Anfang an unten im Nenner 0 steht

Ich auch nicht, deswegen ja meine Nachfrage: Da es keine Umgebung von 1 gibt, in der (ausgenommen natürlich die 1 selbst) der Nenner ungleich Null ist, ist der ganze Grenzwertterm irregulär. unglücklich

unglücklich

12.02.2016, 16:52

KitKat120

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okay gut, also kann ich es nicht lösen Erstaunt2

Erstaunt2

12.02.2016, 17:01

HAL 9000

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Es ist eher so, dass nichts da ist, was zu lösen ist.

13.02.2016, 12:43

KitKat120

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Mir ist gerade noch eine Frage gekommen und zwar ist der Limes wenn ich x gegen 0 laufen lasse und die Werte zwischen drin schwanken also mal -1, 1 annehmen, aber kurz vor 0 gegen 0 laufen der limes trozdem null?
Und limes für x gegen 0 ex. nur nicht wenn es gegen unendlich oder minusunendlich läuft? oder der rechts- bzw. linksseitige limes nicht übereinstimmen?

wäre super, wenn das jmd wüsste. smile

smile

13.02.2016, 20:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von KitKat120
Mir ist gerade noch eine Frage gekommen und zwar ist der Limes wenn ich x gegen 0 laufen lasse und die Werte zwischen drin schwanken also mal -1, 1 annehmen, aber kurz vor 0 gegen 0 laufen der limes trozdem null?

Es gibt klare und präzise Definitionen, was unter einem Grenzwert zu verstehen ist - derartig schwammiges wie "kurz vor 0" hat da nichts zu suchen. Wenn dir irgendein konkretes Beispiel vorschwebt, dann nenne bitte das.

15.02.2016, 14:23

KitKat120

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wenn ich zum Beispiel folgendes Berechnen möchte:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} sin(x) \end{eqnarray*}$
würde hier der Grenzwert 0 sein ?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } sin(x) \end{eqnarray*}$

und hier der grenzwert $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ? ich bin mir da etwas unsicher, da der Sinus ja zwischen -1 und 1 immer wieder "schwankt".

Betrachtet man beim Limes immer nur die eine Stelle, also z.B. beim ersten Beispiel die Stelle 1?

wär super, wenn mir jmd helfen könnte, würde mich sehr viel weiter bringen smile

smile

15.02.2016, 14:32

Xbf

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Hallo,
das erste ist richtig. Da kannst du einfach x durch 0 ersetzen $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} sin(x)=0 \end{eqnarray*}$ .

Bei $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } sin(x) \end{eqnarray*}$ ist der Grenzwert auf keinen Fall unendlich.
Wie du schon richtig bemerkt hast, "schwankt" der Wert immer zwischen -1 und 1.
Wenn x gegen unendlich strebt, weiß man nur, dass der Wert zwischen -1 und 1 sein muss. Eine genaue Zahl gibt es nicht.

Wenn du dir bei solchen Aufgaben nicht sicher bist, gibt es die super Seite wolframalpha.com
Da kannst du z.B. eingeben: lim sin(x), x to oo
Du bekommst die Lösung inkl. Lösungsweg.

15.02.2016, 14:44

KitKat120

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okay schonmal vielen Dank smile

smile

ex der Limes von dem 2. Beispiel dann nicht? würde man dann einfach hinschreiben schwankt zwischen -1 und 1?

15.02.2016, 16:49

HAL 9000

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Der Grenzwert existiert nicht. Ein Nachweis dafür wäre z.B., zwei Folgen $\begin{align*} (x_k) \end{align*}$ und $\begin{align*} (y_k) \end{align*}$ mit $\begin{align*} \lim_{k\to\infty} x_k = \lim_{k\to\infty} y_k = \infty \end{align*}$ derart anzugeben, dass zwar $\begin{align*} \lim_{k\to\infty} \sin(x_k) \end{align*}$ und $\begin{align*} \lim_{k\to\infty} \sin(y_k) \end{align*}$ existieren, aber verschieden sind. Und das dürfte nicht schwierig sein.

Zitat:

Original von KitKat120
würde man dann einfach hinschreiben schwankt zwischen -1 und 1?

So geschrieben bitte nicht. Wenn du unbedingt willst, kannst du über Häufungswerte schreiben,
aber "der Grenzwert schwankt zwischen..." geht gar nicht. unglücklich

unglücklich

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