Starkes Induktionsprinzip verstehen |
| 12.02.2016, 17:19 | Xyarvius | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Starkes Induktionsprinzip verstehen Die Aufgabe + Lösung sind im Form eines Bildes im Anhang. Es geht um das starke Induktionsprinzip. Das normale (schwache) stellt kein Problem dar, aber mit dem starken habe ich noch so meine Probleme. Meine Ideen: Im Gegensatz zum schwachen Induktionsprinzip gehen wir in der Induktionsvoraussetzung des starken Induktionsprinzips doch davon aus, dass unsere Behauptung nicht nur für ein n, sondern für mehrere n gilt. In der gegebenen Aufgabe ist dies an der Stelle geschehen. Wie kommt man darauf? Und wieso hat man in der Induktionsvoraussetzung gerade die Zahlen 5-9 gewählt? Mir erschließt sich auch nicht, wie man nach dieser Beweisführung sagen kann dass für alle die Behauptung stimmt oder wie ich das starke Induktionsprinzip auf andere Aufgaben anwenden kann. |
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| 12.02.2016, 18:50 | 005 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Starkes Induktionsprinzip verstehen Das schwache Induktionsprinzip rechtfertigt sich am Ende so: A(1) wird explizit verifiziert, und es wird gezeigt, dass aus der Gueltigkeit von A(n) fuer ein n auch die Gueltigkeit von A(n+1) folgt. Modus ponens ergibt fuer n=1: A(1) A(1) => A(2) ========= A(2) Also gilt A(2). Jetzt fuer n=2: A(2) A(2) => A(3) ========= A(3) Also gilt A(3). Jetzt fuer n=3: A(3) A(3) => A(4) ========= A(4) Also gilt A(4). Jetzt fuer n=4: A(4) A(4) => A(5) ========= A(5) Also gilt A(5), usw. Du siehst: Wenn Du von A(4) auf A(5) schliesst, ist nicht nur die Richtigkeit von A(4) bereits erwiesen, sondern auch schon die von A(1), A(2) und A(3). Das fuehr dann eben zum starken Induktionsprinzip. Im Induktionsschluss auf A(n) wird nicht nur die Gueltigkeit von A(n-1) investiert (wie im schwachen Induktionsprinzip), sondern sogar die Gueltigkeit von A(1), A(2), ..., A(n-1). Versuche zur Uebung einmal, dieses starke Induktionsprinzip auf folgende Aussage anzuwenden: Jede natuerliche Zahl >=2 hat eine Primfaktorzerlegung. Danach kannst Du Dich wieder Deiner Aufgabe zuwenden, bei der der Induktionsanfang sogar aus mehreren Teilen besteht. |
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