Induktion der Funktionenfolge f_n(x)=(nx/n²+x²)

12.02.2016, 20:57	Felix 2357	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion der Funktionenfolge f_n(x)=(nx/n²+x²) Meine Frage: Hallo, ich finde bei folgendem Problem einfach keine Lösung und hoffe jemand kann mir weiter helfen: Die Aufgabe: Gegeben sei die Funktionenfolge $\begin{eqnarray} (f_n: \left[0,\infty \right] \Rightarrow \mathbb R )_{n\in \mathbb N } def. durch f_n(x)=\frac{nx}{n^2+x^2} \end{eqnarray}$ Nun sollen wir zuerst die Punktweise konvergenz bestimmen... das hab ich schon gemacht und es kommt 0 heraus. Anschließend sollen wir beweisen, dass für alle $\begin{eqnarray} x\in [0,\infty ) \end{eqnarray}$ und alle $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray} f_n(x)\leq \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ gilt: Meine Ideen: Meine Idee war, das mit einer vollständigen Induktion zu zeigen. Also habe ich mal den Induktionsanfang gewagt, der ging aber schon schief: I.A.: sei n=1 --> $\begin{eqnarray} \frac{x}{1+x^2} \end{eqnarray}$ so und woher weis ich jetzt, dass das ausgerechnet <=0,5 ist? Genau diese Hürde hindert mich auch daran, den Induktionsschritt zu machen und zu zeigen, dass bei der Erhöhung von n auf n+1 auch die Ungleichung erfüllt ist... bitte helft mir, DANKE!
12.02.2016, 21:33	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Du brauchst keine Induktion. Eine Extremwertberechnung (d.h. durch Nullsetzen der ersten Ableitung) bei beliebigem $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , zusammen mit einer Betrachtung des Randwertes bei $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ und des Grenzwertes für $\begin{eqnarray} x\to\infty \end{eqnarray}$ tut's auch. Edit: Es geht natürlich noch schneller: Die Ungleichung $\begin{eqnarray} \frac{nx}{n^2+x^2}\leq \frac12 \end{eqnarray}$ kannst du durch einfache Äquivalenzumformungen zeigen.
12.02.2016, 21:41	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder Du nutzt die Darstellung $\begin{eqnarray} n²+x²=(n-x)²+2nx \end{eqnarray}$ um eine Abschätzung des Nenners nach unten (und damit des Bruches nach oben) zu erhalten.

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