Modulo-Berechnungen

13.02.2016, 01:34	Flamm	Auf diesen Beitrag antworten »
Modulo-Berechnungen Meine Frage: Zeigen Sie, dass für a aus den Ganzen Zahlen gilt: a^5 kongruent a,mod(5) gilt Meine Ideen: Ich habe mich der unorthodoxen Methode: "Beweis durch Beispiel" gewidmet. (-2)^5=-32 (-1)^5=-1 0^5=0 1^5=1 2^5=32 3^5=243 4^5=1024 5^5=3125 Man erkennt also schonmal, dass die Behauptung für diese Zahlen stimmt. Jedoch soll dies für ALLE a aus den Ganzen Zahlen gezeigt werden. Nun ist meine Frage wie man das allgemein beweisen kann, stehe da leider total auf dem Schlauch, hoffe ihr könnt mir dabei auf die Sprünge helfen.
13.02.2016, 02:58	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modulo Du willst also zeigen, dass $\begin{align} a^5\equiv a \!\!\!\!\mod 5 \end{align}$ gilt. Dies ist ein Beispiel für den ,,kleinen Fermat'schen Satz". Wichtig dabei ist die Tatsache, dass 5 eine Primzahl ist. Beispielsweise gilt $\begin{align} 2^6=64\equiv 4 \!\!\!\!\mod 6\not\equiv 2 \!\!\!\!\mod 6 \end{align}$ . Dir ist vielleicht bekannt, dass $\begin{align} \mathbb Z_5 \end{align}$ ein Körper ist, also ein Restklassenring, der auch unter der Multiplikation (ohne die 0) eine Gruppe ist. Damit gilt der Satz von Lagrange mit dem Spezialfall: ,,die Ordnung jedes Elements teilt die Gruppenordnung". In diesem Fall ist die Gruppenordnung der sogenannten Einheitengruppe $\begin{align} \mathbb Z^_5=\{1,2,3,4\} \end{align}$ gleich 4, für jedes Element aus der Einheitengruppe gilt also $\begin{align} a^4=1 \end{align}$ bzw. $\begin{align} a^4\equiv 1 \!\!\!\!\mod 5,a\not= 0 \end{align}$ Die Kongruenz $\begin{align} a^5\equiv a \!\!\!\!\mod 5 \end{align}$ folgt daraus, außerdem gilt sie auch für a=0. Zum Beweis: Mach es am besten über Induktion, also $\begin{align} a^5\equiv a \!\!\!\!\mod 5\Rightarrow (a+1)^5\equiv a+1 \!\!\!\!\mod 5 \end{align*}$ Einer der Binomischen Sätze ist dabei hilfreich.

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