Gödels Sätze für Dummies |
| 13.02.2016, 02:29 | leoclid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Gödels Sätze für Dummies ich habe gerade versucht zwei Bekannten, die in Mathematik nicht so fit sind, die Gödelschen Unvollständigkeitssätze zu erklären. Ich habe dies derart gemacht. Wir haben ein System von Aussagen, und Regeln, wir wir aus alten Aussagen neue gewinnen können. Zum Beispiel:
Daraus können wir folgenden Satz folgern:
So, weit so gut. Jetzt gibt es aber auch Sätze, die wir nicht aus den obigen folgern können, zum Beispiel
Er ist weder wahr oder falsch, mit den obigen Grundaussagen können wir ihn nicht herleiten und nicht wiederlegen. Sie wissen natürlich, dass Malmö in Schweden liegt, aber Sie haben es nicht explizit als Grundaussage hingeschrieben. Es kann aber auch folgendes passieren. Das in der anfänglichen Liste ein Fehler auftritt. Zum Beispiel:
Die Erdkundler hören jetzt auf mit Klugscheissen, und sagen nicht sofort, dass Malmö nicht die Hauptstadt von Schweden ist. Aber was ist jetzt? Mit ein bisschen nachdenken kommt man drauf, dass da oben etwas nicht stimmen kann. Wir haben geschrieben, dass sowohl Malmö als auch Stockholm Hauptstädte von Schweden sind, aber wir haben auch geschrieben, dass Schweden ein Land ist und ein Land nur eine Hauptstadt hat. Ähnliches tritt in der Mathematik auf. Mann kann die Natürlichen Zahlen auch durch Aussagen definieren und aus diesen Aussagen dann immer neue Aussagen herleiten. Aber nach dem GÖDELSCHEN UNVOLLSTÄNDIGKEITSSATZ tritt immer einer von zwei Fällen ein. 1. Es gibt Sätze, die sich formulieren lassen, aber die aus den Grundaussagen sich nicht beweisen oder widerlegen lassen. 2. Es ist ein Fehler (Ein Widerspruch) in der anfänglichen Formulierung von Sätzen. Ist das zu kompliziert erklärt??? Ich habe es mit dem Reden eher als mit dem Schreiben!!!!!!! Eine Frage habe ich noch an euch. Bei der Kontinuumshypothese ist es so, dass diese Unabhängigkeit von den Mengenlehrenaxiomen sind. Aber wie ist es bei der Goldbachvermutung. Angenommen, GÖDEL würde darauf zu treffen, der Satz ist nicht herleitbar oder wiederlegbar. Aber er kann doch trotzdem wahr sein oder?? |
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| 13.02.2016, 09:40 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Deine Beispiele zeigen nicht die Unvollständigkeit formaler Systeme. Dein Beispiel 1 zeigt, dass es unabhängige Aussagen gibt - das ist trivial. Dein Beispiel 2 zeigt, dass es widerspruchsvolle Systeme gibt - das ist trivial. Wenn eine Aussage vom 1. Gödelschen Unvollständigkeitssatz betroffen ist, so ist sie nicht beweisbar und ihre Negation ist nicht beweisbar. Ob die Aussage oder ihre Negation wahr ist, kann man nicht entscheiden. |
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| 13.02.2016, 11:19 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Gödels Sätze für Dummies (HILFE) leoclid. deine Beispiele scheinen mir nicht geeignet, den 1. Gödelschen Unvollständigkeitssatz richtig zu erläutern. Der 1. GUV setzt ein formales System voraus. Er sagt dann etwas aus über Sätze, die innerhalb dieses Systems formuliert sind. Wenn man dein erstes Beispiel als so ein System betrachten würde, so kommen in dem System die Begriffe Malmö und Stadt gar nicht vor. Dein zweites Beispiel ist also gar kein Satz innerhalb des vorher definierten Systems. Dieser Lapsus wäre leicht zu korrigieren. Man müsste das System so erweitern, dass es diese Begriffe schon enthält und trotzdem dein Beispielsatz darin nicht herleitbar ist. Das besagt aber nichts. Es ist trivial, dass man unvollständige formale Systeme haben kann. Die Essenz des 1. GUV ist, dass jedes genügend reichhaltige solche System immer unvollständig ist. Auch wenn man weitere in dem System formulierbare, aber in ihm bisher nicht beweisbare Aussagen als Axiome hinzunimmt, bleibt es immer noch unvollständig. Und das ist schon erstaunlich. @Elvis
Gödel macht zwischen Wahrheit und Beweisbarkeit schon einen Unterschied. So sagt er schon zu Beginn seiner Königsberger Wortmeldung 1930: "Man kann - unter der Vorraussetzung der Widerspruchsfreiheit der klassischen Mathematik - sogar Beispiele für Sätze angeben, die zwar inhaltlich richtig, aber im formalen Sinne der klassischen Mathematik unbeweisbar sind." |
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| 13.02.2016, 14:15 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
@Huggy Ja, ich bin ziemlich sicher, dass sich das mit dem verträgt, was ich gesagt habe. ("Entscheidbar" heißt "formal entscheidbar", d.h. es ist die Aussage oder ihre Negation ein Theorem, also formal ableitbar.) Ist A eine Aussage, so ist entweder ( A wahr und negA falsch ) oder ( A falsch und negA wahr) - tertium non datur. Wenn eine Aussage A nicht entscheidbar ist (und über solche Aussagen spricht Gödel), so gilt das ganz genau so. |
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