norm auf R^2

13.02.2016, 14:38

mudmath

norm auf R^2

Moin,

es geht um folgende Aufgabe, die ich nicht verstehe:

Wir betrachten den Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ über dem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ für eine reelle Zahl $\begin{eqnarray*} r\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ bezeichne $\begin{eqnarray*} |r| \end{eqnarray*}$ den Betrag von r. Zeigen Sie, dass die Abbildung $\begin{eqnarray*} || . ||_{1}:\mathbb R ^{2}--->\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ||(x_{1},x_{2})^{T}||_{1}:=|x_{1}|+|x_{2}| \end{eqnarray*}$ eine Norm auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ ist.

Hinweis: Sie dürfen benutzen, dass der Betrag eine Norm auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist.
Ich weiß leider gar nicht, was ich hier eigen soll. Etwa Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität? Wenn ja, wie mache ich das? unglücklich

13.02.2016, 15:04

Guppi12

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Hallo mudmath,

Zitat:

Ich weiß leider gar nicht, was ich hier eigen soll. Etwa Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität? Wenn ja, wie mache ich das?

Ja, natürlich. Du musst die Definition nachweisen, was denn sonst ? Augenzwinkern

Was bedeutet denn Definitheit?

13.02.2016, 15:51

mudmath

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Wäre die Abbildung in diesem Fall nicht positiv definitv? Da wir die Beträge der Vektoren betrachten?

13.02.2016, 15:55

Guppi12

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Ich kenne den Begriff 'positiv definit' für Normen nicht. Dort sagt man nur 'definit' soweit ich weiß. Was genau musst du nachweisen? Schreib es auf. Nicht vage bleiben: Harte Beweise sind hier gefragt!

13.02.2016, 16:16

mudmath

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RE: norm auf R^2
$\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |x_{1}|+|x_{2}| \geq 0. |x_{1}|+|x_{2}|=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_{1}= x_{2}=0. \end{eqnarray*}$ ?

Hilfe Big Laugh

13.02.2016, 16:21

Guppi12

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Das ist nicht ganz richtig. Du müsstest am Anfang über $\begin{eqnarray*} x_1,x_2\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ quantisieren, dann stimmt es. Für den zweiten Teil der Definitheit musst du zeigen, dass aus $\begin{eqnarray*} |x_1|+|x_2|=0 \end{eqnarray*}$ bereits folgt, dass $\begin{eqnarray*} x_1=x_2=0 \end{eqnarray*}$ , das ist etwas anderes!

Also, fange so an: Seien $\begin{eqnarray*} x_1,x_2\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Dann gilt ... (hier jetzt ausnutzen, dass $\begin{eqnarray*} |\cdot| \end{eqnarray*}$ eine Norm ist, wie in der Aufgabe angegeben). Also folgt $\begin{eqnarray*} |x_1|+|x_2|\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

13.02.2016, 17:08

mudmath

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Was meinst du mit quantisieren? Sorry :/.
Also wäre die Definitheit gezeigt, wenn man es wie du am Ende hinschreibt?

13.02.2016, 17:12

Guppi12

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Das bedeutet, dass das falsche hinter den Allquantor $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ geschrieben hast. Es müsste eben $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ dort stehen.

Zitat:

Also wäre die Definitheit gezeigt, wenn man es wie du am Ende hinschreibt?

Nein, die Pünktchen sind auszufüllen. Das ist jetzt deine Aufgabe. Außerdem zeigt das nur den ersten Teil der Definitheit, der andere ist danach dann auch noch dran.

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