Homomorphismus

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Das_Biotop Auf diesen Beitrag antworten »
Homomorphismus
Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich hänge leider seit einer Weile an einer Aufgabe fest. Sie lautet wie folgt:
Es seien A = ({0, 1, 2, 3}, + mod 4) mit x +(mod 4) y = (x + y) mod 4. Die Addition ist also eine Addition modulo 4.
Außerdem sei B = ({e, a}, °) mit a ° e = e ° a = a, e ° e = a ° a = e.
A und B sind Algebren.
Ist die Abbildung h: {0, 1, 2, 3} -> {e,a} mit 0 -> e, 1 -> e, 2 -> a, und 3 -> a ein Homomorphismus?
Bestimmen Sie alle Homomorphismen g: {0, 1, 2, 3} -> {e, a}

Meine Ideen:
Die Grundbedingung dafür, dass es es sich um einen Homomorphismus handelt habe ich eigentlich verstanden, zumindest dachte ich das. Mein Problem bei dieser Aufgabe ist, dass ich mit der Operation auf der Algebra B nichts anfangen kann. Mir fehlt eben grade jeglicher echter Ansatz, wie ich das ganze nachweisen soll. Auch machen die beiden Gleichungen die zu Algebra B angegeben sind keinen Sinn für mich. Ist es falsch, dass ich Element e als das neutrale Element ansehe?
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

e ist das neutrale Element von B, das ist gerade das was die erste Gleichungskette aussagt.

Du hast hier endliche Algebren.
Wenn einem in diesem Fall sämtliche Ideen fehlen bleibt immer noch brute-force: Sämtliche Fälle durchgehen.
(Und es hilft sich an gewisse Eigenschaften von Homomorphismen zu erinnern die die Möglichkeiten einschränken.)
 
 
Das_Biotop Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für die schnelle Antwort.

Mein Hauptproblem ist glaub ich inzwischen, dass ich mich nicht in die Algebra B reindenken kann, da ja alle Elemente quasi variabel sind. Wenn ich mir jetzt die zweite Gleichung ansehe und mit den Zahlen 0, 1, 2 und 3 rumprobiere, ist das ganze ja nur möglich wenn a=0 und e=0 bei einer Addition und a=1 und e=1 bei einer Multiplikation. Sehe ich das richtig?
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

MMn ist dein Hauptproblem, dass du meinst dich in die Algebra B reindenken zu müssen.

Allles was über B zu wissen ist steht bereits da.
e und a sind alles andere als variabel.
Das sind schlicht und ergreifend Namen.
Die Elemente heißen halt so.
Du könntest sie genauso Sanders und Clinton nennen.
Das_Biotop Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die Antwort dann einfach, dass das ganze schlicht ein Homomorphismus ist, da die Abbildung h injektiv ist?
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

h ist nicht injektiv.

Aus Injektivität kann nie Homomorphie gefolgert werden.

Und übrigens ist h auch kein homomorphismus.
Das_Biotop Auf diesen Beitrag antworten »

Aber warum? Ich bin da echt blockiert und komme nicht weiter
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Aber warum?

Worauf bezieht sich das?
Das_Biotop Auf diesen Beitrag antworten »

Darauf, dass h kein Homomorphismus ist. Das mit der Injektivität war quatsch, hab ich auch grad gemerkt, war ein langer Lerntag^^
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Weil es die bedingungen für einen Homomorphismus nicht erfüllt.
Da sind wir wieder bei meinem ersten post.
Das_Biotop Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht, dass ich jetzt die Bedingung falsch verstanden habe: Homomorphismus heißt, dass in diesem Fall die Operatoren + mod 4 und ° jeweils mit h vertauschbar, das ist richtig so oder?

Das heißt für mich aber jetzt, dass ich eine allgemeinere Form von h brauche, auf die ich aber nicht komme. Zumindest wüsste ich nicht, wie ich das ganze dann sonst handeln sollte, da ich ja quasi nur "Einzalfälle" gegeben habe.
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Homomorphismus heißt, dass in diesem Fall die Operatoren + mod 4 und ° jeweils mit h vertauschbar, das ist richtig so oder?

Nein, das macht gar keinen Sinn.
Du hast in deinem Skript sicher eine genaue Definition. Nachschlagen,genau hinschreiben.

Zitat:
Das heißt für mich aber jetzt, dass ich eine allgemeinere Form von h brauche, auf die ich aber nicht komme

Das ist falsch, die Einzelfälle beschreiben die Abbildung vollständig.

Zitat:
Zumindest wüsste ich nicht, wie ich das ganze dann sonst handeln sollte, da ich ja quasi nur "Einzalfälle" gegeben habe.

Das du nur Einzelfälle hast ist nicht schlimm.
Im Gegenteil: Das ist gut.
Dann so kannst du im Zweifelsfall alle möglichen Fälle betrachten.
(was du bei Abb. wie nie kannst)
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Das_Biotop
Aber warum?


Es reicht ein Gegenbeispiel. Es muss gelten

falls das h ein (Gruppen-)Homomorphismus sein soll.
Das_Biotop Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja ein toller Umgang, der hier herrscht. Ist das normal?
Die Unterstellung, dass ich das Skript nicht lese und nicht viel lerne ist ziemlich arschig, wenn ich das mal so sagen darf. Ich weiß ja nicht, wie das bei dir war, aber manchmal schnallt man einige Dinge auch einfach nicht. Und genau das ist hier grad bei mir der Fall.
Um mal aus meinem Skript zu zitieren: "Eine Algebra [...] heißt Homomorphismus wenn für alle i = 1, ..., t die Operatoren fi und ~fi mit h vertauschbar sind." Da steht für mich eigentlich genau das, was ich auch geschrieben habe. Die Defnition von RavenOnJ hat mir aber schonmal weitergeholfen, so konkret steht das bei mir einfach nirgends.
Ich teste mit dieser Definition einfach die 4 Funktionen durch und dabei werde ich auf einen Widerspruch stoßen, also ist h kein Homomorphismus. Das Vorgehen ist so richtig?
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Unterstellung, dass ich das Skript nicht lese und nicht viel lerne ist ziemlich arschig

Wo bitte habe ich (oder sonstwer?) das unterstellt?

ich finde diese Unterstellung auch extrem arschig.
Ich schrieb:
Zitat:
ch halte viel davon am Anfang des Studiums zu lernen, dass es sinnvoll ist das eigene Skript durchzulesen.

Mit keinem Wort erwähne ich Das_Biotop, sondern ich habe eine allgemeinGrundsatzdiskussion mit RavenOnJ.

Wenn du das unbedingt auf dich münzen willst, dann interpretier ich ein schlechtes Gewissen in der Hinsicht rein.

Und wo bitte wurde unterstellt, dass du nicht viel lernst.

Zitat:
Das ist ja ein toller Umgang, der hier herrscht. Ist das normal?

Das frage ich mich in der Tat auch.


Zitat:
"Eine Algebra [...] heißt Homomorphismus wenn für alle i = 1, ..., t die Operatoren fi und ~fi mit h vertauschbar sind.

Die erste [..] ist sehr schlecht gewählt, da komplett sinnentstellend.
Denn Algebren sind nie Homomorphismen.
Das eine ist eine Menge mit Opertationen, das andere eine spezielle Abbildungen.
Das ist Äpfel mit Wolkenkratzern vergleichen.
Auch ist in der Darstellung völlig unklar was fi oder h ist.

Wie ich bereits schrieb:
Zitat:
Nachschlagen,genau hinschreiben.

Die Genauigkeit ist in der Mathematik halt wichtig. Und du demonstrierst hier wiederholt. das dir die Genauigkeit beim Lesen fehlt

Zitat:
einfach die 4 Funktionen

Du hast hier nirgends 4 Funktionen.

Zitat:
Die Defnition von RavenOnJ hat mir aber schonmal weitergeholfen, so konkret steht das bei mir einfach nirgends.

Vielleicht ist die verwendet ihr auch eine andere Defintion und die von RavenOnJ ist dann irreführend?

Zitat:
Das ist ja ein toller Umgang, der hier herrscht. Ist das normal?

Das frage ich mich auch.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Damit die eigentliche Frage nicht in der Diskussion der beiden Helfer untergeht, habe ich die unmathematischen Kommentare entfernt und in den Off-Topic verschoben.
Wenn ihr der Meinung seid, dass weiter diskutiert werden muss, wer die bessere Hilfestellung gibt, könnt ihr das dort sachlich fortführen.

In diesem Thread geht es einzig und allein um fachliche Belange.

Danke für die Aufmerksamkeit.
Das_Biotop Auf diesen Beitrag antworten »

Und dabei wollte ich nur etwas Hilfe bei einem Problem Big Laugh
Ich habe jetzt, frisch ausgeschlafen, nochmal etwas weiter rumprobiert.
Ich habe jetzt quasi mehrere Möglichkeiten mittels der Definition durchgetestet.

Das ganze sah dann z. B. so aus:

h(0+2) = h(2) = a = h(0) ° h(2) = e ° a = a

In diesem Fall gibt es keinen Widerspruch. Aber bei dem dann hier, wenn ich das richtig sehe:



Und damit dürfte zumindest der Teil gelöst sein, liege ich da richtig?

Bleibt noch der zweite Teil der Aufgabe, das Bestimmen aller Homomorphismen g:{0, 1, 2, 3} -> {e, a}

Mein erster Gedanke ist es jetzt einfach wie beim ersten Teil der Aufgabe vorzugehen und einfach alle Varianten aufzulisten, die keinen Widerspruch erzeugen. Das ist aber wahrscheinlich zu einfach gedacht?
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Ja damit hast du gezeigt, dass h kein Gruppenhomomorphismus ist.

Ihr betrachtet hier aber Algebren.
Es hängt jetzt davon ab wie ihr Algebren und Algebrenhomomorphismuen genau definiert habt, ob es damit auch kein Algebrenhomomorphismus ist.

Zitat:
Mein erster Gedanke ist es jetzt einfach wie beim ersten Teil der Aufgabe vorzugehen und einfach alle Varianten aufzulisten, die keinen Widerspruch erzeugen. Das ist aber wahrscheinlich zu einfach gedacht?

Nein, die Idee ist vollkommen in Ordnung.
Das ist ja gerade das was ich versucht hab rüberzubringen:
Du hast was endliches also kannst du alle Fälle durchgehen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Das_Biotop
Und dabei wollte ich nur etwas Hilfe bei einem Problem Big Laugh

Jetzt hast du aber ,,höhnisch gegrinst" Big Laugh .

Zitat:

Mein erster Gedanke ist es jetzt einfach wie beim ersten Teil der Aufgabe vorzugehen und einfach alle Varianten aufzulisten, die keinen Widerspruch erzeugen. Das ist aber wahrscheinlich zu einfach gedacht?


Im Prinzip ist das möglich, es handelt sich um 16 mögliche Abbildungen, die du dann alle durchprobieren müsstest. Einige kannst du aber schon von vorneherein ausschließen, wenn du weißt, dass das neutrale Element der Gruppe A unter einem Homomorphismus auf das neutrale Element von B abgebildet werden muss.
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

@RavenOnJ:
Aus dem Eröffnungspost:
Zitat:
A und B sind Algebren.

Da steht nichts von Gruppen.
Das_Biotop Auf diesen Beitrag antworten »

Dann dürfte die Aufgabe ja gelöst sein.

Die Art, wie wir Algebrahomomorphismen definiert haben deckt sich mit der Definition von RavenOnJ. Ich musste die Definition wohl einfach etwas konkreter auf das vorliegende Problem gemünzt sehen, diese sehr allgemein gehaltene Definition in meinem Skript fand ich persönlich schwierig zu verstehen.
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Art, wie wir Algebrahomomorphismen definiert haben deckt sich mit der Definition von RavenOnJ.

Das deckt sich leider nicht mit dem was du als Defintion von Homomorphismen gepostet hattest.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tatmas
@RavenOnJ:
Aus dem Eröffnungspost:
Zitat:
A und B sind Algebren.

Da steht nichts von Gruppen.


Da steht nichts von Gruppen, es handelt sich aber um Gruppen. Es ist nämlich nur jeweils eine Operation auf den Mengen definiert. Weitere Informationen zu diesen algebraischen Strukturen gab es nicht.
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

@RavenOnJ:
A und B mögen Gruppen sein. Woher weißt du aber dann dass der Algebrenhomomorphismus auch ein Gruppenhomomorphismus ist und nicht was anderes?

Da hast im Thread ja gerade da dazwischengefunkt als ich gefragt habe was genau die Definition des Homomorphismus ist.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tatmas
@RavenOnJ:
A und B mögen Gruppen sein. Woher weißt du aber dann dass der Algebrenhomomorphismus auch ein Gruppenhomomorphismus ist und nicht was anderes?


Mal was zur Definition einer Algebra: Algebra über einem Körper, Algebra übver einem kommutativen Ring. Inwiefern bilden (mit den vom TE zur Verfügung gestellten Informationen) die Mengen A und B K-Algebren? Was ist der Körper bzw. Ring? Wo ist der Vektorraum bzw. das Modul? Ich sehe nur zwei Gruppen, einmal A, der Restklassenring , ohne Berücksichtigung der Multiplikation eine abelsche Gruppe der Ordnung 4, und B die (abelsche) Gruppe der Ordnung 2.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

@RavenOnJ: Es stimmt zwar, dass der raue Ton zuerst von tatmas ins Spiel gebracht wurde, Auslöser bist aber dennoch du, weil du nicht prinzipkonform in den Thread eingreifst. So etwas ist nur dann in Ordnung, wenn der Ersthelfer überfordert ist und nicht mehr zielführend agiert oder sich beide Helfer bereits besser kennen und es so trotz Einwurf bei einer harmonischen Threadführung bleiben kann.

Letzteres ist hier offensichtlich nicht der Fall. Ersteres können wir hier ebenfalls nicht erkennen. Das Auffordern zum Nachschlagen von Definitionen etwa ist hier doch Usus und, wie tatmas genau richtig feststellt, ist es allein seine Sache, wie er die Hilfe in seinem Thread gestalten möchte, das hast du zu akzeptieren. Das 'aneinander vorbeireden', das du feststellst, findet nur statt, weil Unklarheit über die Definitionen herrscht und diese sollte ja gerade aus der Welt geschafft werden.

Daher: Auch wenn du es nicht explizit schreibst, so ist dein Eingreifen problematisch, signalisiert es doch Übernahmewillen und unterstellt damit indirekt inkompetente Hilfe. Dass soetwas als persönlicher Angriff verstanden werden kann, schreibst du ja z.B. selbst in dem von tatmas erwähnten Thread. Vielleicht hilft dir dieser ja dabei, dich etwas in ihn hineinversetzen zu können.

@tatmas: Trotz des von dir als Provokation empfundenen Eingreifens würden wir dich bitten, in Zukunft deinen Ton bei solchen Situationen etwas zu mäßigen. Vielleicht hätte sich dann alles in Ruhe und ohne Streit klären lassen.

Euer Matheboard Team
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

@RavenOnJ:
Algebren über einem Körper/Ring können es in der Tat nur schwer sein.
Daher ging ich auch nie davon aus, dass es hier um K-Algebren geht. (davon - wie von Gruppen -schrieb Das_Biotop ja auch nichts,
Es gibt auch noch den Begriff von Algebren im Sinne der Verallgemeinerung algebraischer Strukturen
(beliebt z.B. bei Informatikern), siehe z.B. hier
www2.cs.uni-paderborn.de/cs/ag-klbue/de/courses/ws09/model/folien/kb-algebren.pdf

@Guppi12:
Danke für die Stellungnahme des Teams
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tatmas
@RavenOnJ:
Algebren über einem Körper/Ring können es in der Tat nur schwer sein.
Daher ging ich auch nie davon aus, dass es hier um K-Algebren geht. (davon - wie von Gruppen -schrieb Das_Biotop ja auch nichts,
Es gibt auch noch den Begriff von Algebren im Sinne der Verallgemeinerung algebraischer Strukturen
(beliebt z.B. bei Informatikern), siehe z.B. hier
www2.cs.uni-paderborn.de/cs/ag-klbue/de/courses/ws09/model/folien/kb-algebren.pdf


Was der TE in seinem ersten Posting ausführte, hat meines Erachtens nichts mit dem durch die Informatiker benutzten Begriff einer Algebra zu tun, wie beispielsweise in dem von dir angeführten Link: ,,In der Modellierung der Informatik spezifiziert man mit Algebren Eigenschaften veränderlicher Datenstrukturen und dynamische Systeme"
Aber letztendlich kann nur der TE aufklären, was bei ihnen mit dem Begriff einer Algebra gemeint ist.

@Guppi
Ist OK, da habe ich wohl zu früh eingegriffen. Keinesfalls wollte ich durch mein Eingreifen tatmas inkompetente Hilfe unterstellen.
Das_Biotop Auf diesen Beitrag antworten »

Also Algebren sind bei uns allgemein wie folgt definiert: "Eine (universelle) Algebra A=(S, f1, f2, ..., ft) besteht aus einer nichtleeren Menge S und Operationen f1, f2, ..., ft auf S."
Vielleicht ist es notwendig zu sagen, dass ich tatsächlich Informatiker bin, falls das in dem Fall relevant ist.
Bei der Aufgabe ist es nicht nötig, speziell nachzuweisen, dass es sich um Gruppen oder tatsächlich um Algebren handelt.

Die Aufgabe geht mir inzwischen locker von der Hand, jetzt nachdem ich nochmal eine Weile drüber meditiert habe ^^.
Bezüglich der Aufgabenstellung alle Homomorphismen anzugeben: Ich habe das jetzt richtig verstanden, dass ich einfach alle "Varianten" angebe, die keinen Widerspruch erzeugen?

Kann ich denn noch irgendwas zur Diskussion beitragen?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

OK, universelle Algebra. Die beiden von dir angegebenen ,,Algebren" A und B sind also im Sinne der klassischen Algebra Gruppen. Der Algebrenhomomorphismus ist damit in dem Fall einer Menge S mit nur einer Operation einfach ein Gruppenhomomorphismus.
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