Stieltjes- und Ito-Integrale |
| 13.02.2016, 17:32 | 1nstinct | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Stieltjes- und Ito-Integrale Das Riemann-Stieltjes-Integral wird ja für monotone Integratoren definiert oder eben für Integratoren von lokal beschränkter Variation, dann kann der Integrator in monotone Funktionen aufgeteilt werden. Es kann dann ja gezeigt werden, dass die Brownsche Bewegung (zum Beispiel) nicht in diese Klasse Integratoren gehört, deshalb muss das Ito-Integral definiert werden (wobei Integratoren hier Semi-Martingale sein müssen). Meine Frage: Warum klappt die Definition des Stieltjes-Integrals nur für genau diese Integratoren und eben nicht für z.B. die Brownschen Bewegung? Ich fürchte, mir fehlt da noch das Verständniss. Liebe Grüße |
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| 14.02.2016, 00:44 | rza | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hi 1nstinct . Also ich versuch mal zu helfen. Für welche Integranden habt ihr das Riemann Stieltjes Integral definiert ? Beschränkte schätz ich ? Ok, also nimm mal an du hättest einen Integrator der nicht beschränkte Variation hat .Gut also du kannst eine Folge von Verfeinerungen finden sodass die totale Variation gegen Unendlich geht. jetzt versucht man einen Integranden zu konstruieren, sodass die Riemann Summe gegen unendlich geht . Prinzipiell sollte es so gehen dass man wenn positive ist man 1 setzt und 0 sonst. Und dann betrachtet man die Grenzfunktion und versucht hiermit das Rieman Integral zu bilden welches aber gegen Unendlich geht das der Integrator ja nicht beschränkte Variation hat. Zu dem zweiten Teil: wie sieht denn die totale Variation der Brownschen Bewegung aus ? |
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| 14.02.2016, 11:04 | 1nstinct | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Stieltjes- und Ito-Integrale Hallo, Vielen Dank für deine Antwort 
.Zusammengefasst heisst das also: Die Riemann-Stieltjes-Summe divergiert für Integratoren die keine beschränkte Variation hat, dieser Ansatz macht also keinen Sinn?
Genau, wie ich bereits geschrieben habe, für monotone und eben solche von lokal beschränkter Variation (da man diese dann in monotone Funktionen aufteilen kann).
Die ist ja eben nicht endlich, deshalb braucht man doch das Ito-Integral, oder? (Man kann zeigen, dass alle stetigen Prozesse von beschränkter totaler Variation, die zusätzlich L^2-Martingale sind, schon f.s. konstant sein müssen. Die BB ist ja offensichtlich nicht konstant.) |
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| 14.02.2016, 12:11 | rza | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja, zumindest nicht für alle beschränkte Funktionen( Integranden). Also wenn ich so ein Integral auf den beschränkten Funktionen definieren will.
Ich hab hier Integrand nicht Integrator geschrieben =) Aber normalerweise macht man das für eben Integrator lokal beschränkte Variation und Integrand beschränkt... Hätt mich nur interessiert ob ihrs auch für beschränkte Integranden gemacht habt.
Ja genau. 
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| 14.02.2016, 13:27 | 1nstinct | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Entschuldige, mein Fehler. Beim Aufteilen des Integrators in zwei monotone Funktionen a,b muss der Integrand integrierbar bezüglich a und b sein. Ich hätte noch eine weitere Frage: Jetzt braucht man also das Ito-Integral. Dort muss der Integrand f.s. stetige Pfade haben und der Integrator sich als Summe eines Prozesses von lokal beschänkter Variation und eines stetigen lokalen Martingals zerlegen lassen. 1) Stimmt das? 2) Muss die Zerlegegung des Integrators eindeutig sein? Ich denke nicht, da man doch immer deterministische Anteile verschieben könnte. Liebe Grüße |
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| 14.02.2016, 14:15 | rza | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja genau. Du kannst halt das Ito Integral für solche Prozesse die sich so schreiben lassen definieren ( nennen sich semimartingale).
Für solche Integranden funktioniert es. Da diese dann ja wegen der Stetigkeit auf jedem kompaktem Intervall beschränkt sind und somit die Integrale jeweils auch endlich. Man kann es aber auch für allgemeinere Integranden machen.
Nein die Zerlegung muss nicht eindeutig sein soweit ich weis =D |
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| 14.02.2016, 14:20 | 1nstinct | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Super, ich danke dir vielmals für deine Hilfe
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