Erhaltung der Monotonie unter verschiedenen Gleichverteilungen

14.02.2016, 12:59

FaustFrankenstein

Erhaltung der Monotonie unter verschiedenen Gleichverteilungen

Meine Frage:
Hallo Forum,

dies ist keine Hausaufgabe, sondern wird im Rahmen einer Thesis eines Freundes von mir gebraucht - Abgabe ist Mittwoch. Brennt also. Die Frage ist auf das essentielle Problem runtergebrochen - das eigentliche ist mehrdimensional und beinhaltet weitere Faktoren - sodass, wenn das Folgende gezeigt ist, der Rest für uns klar ist.

Gegeben zwei gleichverteilte, unabhängige Zufallsvariablen

$\begin{eqnarray*} X \sim \mathcal U(a,b) \\<br /> Y \sim \mathcal U(c,d) \\ \end{eqnarray*}$
wobei
$\begin{eqnarray*} a \leq c, b \leq d. \end{eqnarray*}$
Zu zeigen ist, ob für eine nicht-fallende, stetige Funktion
$\begin{eqnarray*} f : [0,1] \to [0,1] \end{eqnarray*}$
gilt
$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}[f(X)] \leq \mathbb{E}[f(Y)] \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
Wie gesagt, das ist keine Hausaufgabe - wir sind bereits mit Konvergenz in Verteilung, Jensencher Ungleichung und elementarmathematischer Aufspaltung des Erwartungswerts an die Sache erfolglos herangegangen -, es ist also möglich - wenn auch unwahrscheinlich und intuitiv unplausibel - dass die Aussage nicht stimmt.

14.02.2016, 13:34

HAL 9000

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RE: Erhaltung der Monotonie unter verschiedenen Gleichverteilungen

Zitat:

Original von FaustFrankenstein
wir sind bereits mit Konvergenz in Verteilung, Jensencher Ungleichung

Es braucht nicht die schweren Geschütze, sondern die richtigen. Und die können ganz einfach sein:

Die Zufallsgröße $\begin{align*} Z := c + (d-c)\frac{X-a}{b-a} \end{align*}$ ist gleichverteilt $\begin{eqnarray*} \mathcal U(c,d) \end{eqnarray*}$ , d.h., identisch verteilt wie $\begin{align*} Y \end{align*}$ . Betrachten wir

$\begin{align*} g(x) := c + (d-c)\frac{x-a}{b-a} - x \end{align*}$ ,

dann ist $\begin{align*} g(a) = c-a\geq 0 \end{align*}$ sowie auch $\begin{align*} g(b) = d-b\geq 0 \end{align*}$ , und da $\begin{align*} g \end{align*}$ eine lineare Funktion ist, gilt dann auch $\begin{align*} g(x)\geq 0 \end{align*}$ im gesamten Intervall $\begin{align*} [a,b] \end{align*}$ . Folglich gilt $\begin{align*} X\leq Z \end{align*}$ , wegen der f-Monotonie dann auch $\begin{align*} f(X)\leq f(Z) \end{align*}$ und somit auch

$\begin{align*} \mathbb{E}\left[f(X)\right] \leq \mathbb{E}\left[f(Z)\right] = \mathbb{E}\left[f(Y)\right] \end{align*}$ .

P.S.: Ich nehme dabei natürlich an, dass du mit "nicht-fallend" monoton wachsend meinst.

Zitat:

Original von FaustFrankenstein
$\begin{eqnarray*} f : [0,1] \to [0,1] \end{eqnarray*}$

Die Intervallangabe zumindest des Definitionsbereiches ist natürlich Unsinn: Allein der Behauptung wegen muss der Definitionsbereich von $\begin{align*} f \end{align*}$ zumindest die Intervalle $\begin{align*} [a,b] \end{align*}$ und $\begin{align*} [c,d] \end{align*}$ umfassen. unglücklich

14.02.2016, 14:38

FaustFrankenstein

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Der Definitionsbereich umfasst tatsächlich (a,b) und (c,d), da
$\begin{eqnarray*} (a,b), (c,d) \subseteq [0,1] . \end{eqnarray*}$
Jeder Punkt aus den Intervallen entspricht in unserem Model einer gezogenen Wahrscheinlichkeit. Wir ziehen also gleichverteilt Wahrscheinlichkeiten. Das war mir so klar, dass ich betriebsblind vergessen hab', es zu erwähnen.

Super, ist ein eleganter Beweis. Und mit dem Ausnutzen der identischen Verteilung der ZVs hab' ich was gelernt.
Vielen Dank und verabschiede mich mit "A Bicycle Built for Two..."

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