Beweise symmetrischer Differenzen

14.02.2016, 13:56

DrHWI

Beweise symmetrischer Differenzen

Meine Frage:
Hallo Wink

Ich bearbeite gerade eine Altklausur zur Vorbereitung und bin auf folgende Aufgabe gestoßen.
Die symmetrische Differenz zweier Mengen M und N sei mit $\begin{eqnarray*} M \bigtriangleup N \end{eqnarray*}$ bezeichnet, d.h. $\begin{eqnarray*} M \bigtriangleup N = (M \setminus N) \cup (N \setminus M) \end{eqnarray*}$ . Es sei $\begin{eqnarray*} g: A \rightarrow B \end{eqnarray*}$ eine Abbildung und es gelte $\begin{eqnarray*} A_1, A_2 \subseteq A \end{eqnarray*}$ .

a) Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray*} g(A_1) \bigtriangleup g(A_2) \subseteq g(A_1 \bigtriangleup A_2) \end{eqnarray*}$ gilt.

b) Behauptung: Es gilt auch immer die umgekehrte Beziehung $\begin{eqnarray*} g(A_1 \bigtriangleup A_2) \subseteq g(A_1) \bigtriangleup g(A_2) \end{eqnarray*}$ .
Beweisen oder widerlegen Sie diese Behauptung.

Meine Ideen:
Kann mir hier jemand bitte, bitte irgendwie weiterhelfen? unglücklich

Ich weiß gar nicht, wo oder wie ich hier anfangen soll. Ich wäre wirklich sehr, sehr dankbar für jegliche Hilfe! smile

14.02.2016, 14:26

10001000Nick1

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RE: Beweise symmetrischer Differenzen

Zitat:

Original von DrHWI
Ich weiß gar nicht, wo oder wie ich hier anfangen soll.

So, wie man das (fast) immer macht, wenn man zeigen will, dass eine Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ Teilmenge von einer Menge $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ist:
Du nimmst ein beliebiges Element $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ und zeigst, dass auch $\begin{eqnarray*} x\in Y \end{eqnarray*}$ gilt.

14.02.2016, 14:50

DrHWI

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Ich verstehe nicht ganz... unglücklich

Dann sage ich einfach
$\begin{eqnarray*} b \in g(A_1) \bigtriangleup g(A_2) \end{eqnarray*}$
also ist $\begin{eqnarray*} a \in A_1 \bigtriangleup A_2 \end{eqnarray*}$
also gilt auch $\begin{eqnarray*} b \in g(A_1\bigtriangleup A_2) \end{eqnarray*}$ ???

14.02.2016, 14:58

10001000Nick1

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Was ist $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ? Und wie kommst du auf diese Schlussfolgerungen? verwirrt

Wenn $\begin{eqnarray*} b \in g(A_1) \bigtriangleup g(A_2) \end{eqnarray*}$ ist, dann bedeutet das (laut Definition der symmetrischen Differenz): $\begin{eqnarray*} b\in (g(A_1)\setminus g(A_2))\cup (g(A_2)\setminus g(A_1)) \end{eqnarray*}$ ;
und das wiederum heißt: $\begin{eqnarray*} b\in g(A_1)\setminus g(A_2)\vee b\in g(A_2)\setminus g(A_1) \end{eqnarray*}$ .

Zu zeigen ist am Ende: $\begin{eqnarray*} b \in g(A_1\bigtriangleup A_2) \end{eqnarray*}$ . Schreib dir dafür mal ähnlich wie oben auf, was das bedeutet; und dann versuche, diese Aussage aus der obigen zu schlussfolgern.

14.02.2016, 15:31

DrHWI

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Also wenn wir ansetzen bei:
$\begin{eqnarray*} b \in g(A_1)\setminus g(A_2)\vee b\in g(A_2)\setminus g(A_1)) \end{eqnarray*}$
dann müsste doch gelten
$\begin{eqnarray*} b \in g(A_1 \setminus A_2)\, \vee b \in g(A_2 \setminus A_1) \end{eqnarray*}$
oder anders geschrieben
$\begin{eqnarray*} b \in g((A_1 \setminus A_2) \cup (A_2 \setminus A_1)) \end{eqnarray*}$
und daraus ließe sich vereinfacht darstellen
$\begin{eqnarray*} b \in g(A_1 \bigtriangleup A_2) \end{eqnarray*}$ verwirrt

14.02.2016, 15:43

10001000Nick1

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Ja, soweit stimmt das.
Wobei man noch anmerken könnte: Die erste Schlussfolgerung folgt aus $\begin{eqnarray*} g(X)\setminus g(Y)\subseteq g(X\setminus Y) \end{eqnarray*}$ für beliebige $\begin{eqnarray*} X,Y\subseteq A \end{eqnarray*}$ ; die zweite Schlussfolgerung folgt aus $\begin{eqnarray*} g(X)\cup g(Y)\subseteq g(X\cup Y) \end{eqnarray*}$ .

14.02.2016, 20:30

DrHWI

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Ja, das macht Sinn. Dann wirkt es ziemlich komplett.
Und dann zur Fragestellung b) ich habe irgendwie das Gefühl, dass dies falsch ist, aber ich komm nicht so richtig auf ein Beispiel, warum dies nicht stimmt. unglücklich

14.02.2016, 22:08

10001000Nick1

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Wenn man eine Richtung einer Aussage schon bewiesen hat und dann überprüfen will, ob die Umkehrung der Aussage ebenfalls stimmt, hilft es manchmal, sich den Beweis für die Hinrichtung anzuschauen.

Der Beweis für a) war folgender:

$\begin{eqnarray*} \begin{aligned} b&\in g(A_1)\triangle g(A_2) \\ \Rightarrow b&\in (g(A_1)\setminus g(A_2))\cup (g(A_2)\setminus g(A_1)) \\ \Rightarrow b&\in g(A_1)\setminus g(A_2)\vee b\in g(A_2)\setminus g(A_1) \\ \Rightarrow b&\in g(A_1 \setminus A_2)\, \vee b \in g(A_2 \setminus A_1) \\ \Rightarrow b&\in g((A_1 \setminus A_2) \cup (A_2 \setminus A_1)) \\ \Rightarrow b&\in g(A_1 \triangle A_2) \end{aligned} \end{eqnarray*}$

Überprüfe jetzt, ob/welche der Implikationen man durch Äquivalenzen ersetzen kann.
Wenn das überall möglich ist, dann gilt auch die Umkehrung.
Wenn man die Implikation an irgendeiner Stelle nicht durch eine Äquivalenz ersetzen kann, hast du einen Anhaltspunkt, wie dein Gegenbeispiel aussehen muss.

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