Berechnung komplexer Kurvenintegrale

14.02.2016, 14:53	sebal	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung komplexer Kurvenintegrale Hallo Liebe Mathebordler, ich hab ein Problem mit der Berechnung folgenden Kurvenintegrale. $\begin{eqnarray} \int_{\|z\|=1}^{} \! \frac{sin(z)}{z} \, dz \text{, } \int_{\|z\|=20}^{} \! \frac{exp(sin(2z))}{z-\pi} \, dz \end{eqnarray}$ Die Kurven werden jeweils gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen. Nun habe ich mir erstmal Kurven überlegt: $\begin{eqnarray} \gamma_{1}: (0,2\pi] \to \mathbb{C} , \gamma_{1}(t) := e^{it},<br /> Bild(\gamma_{1}) = \left\{z\in \mathbb{C}, \|z\| = 1\right\}, \\<br /> \gamma_{2}: (0,2\pi] \to \mathbb{C} , \gamma_{2}(t) := 20e^{it},<br /> Bild(\gamma_{1}) = \left\{z\in \mathbb{C}, \|z\| = 20\right\} \end{eqnarray}$ Weiter kann ich jetzt die Integrale umformen mit: $\begin{eqnarray} \int_{\|z\|=1}^{} \! \frac{sin(z)}{z} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \! \frac{sin(e^{it})}{e^{it}} ie^{it} \, dt = i \int_{0}^{2\pi} \! sin(e^{it}) \, dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{\|z\|=20}^{} \! \frac{exp(sin(2z))}{z-\pi} \, dz = \int_{0}^{2\pi} \! \frac{exp(sin(40e^{it}))}{20e^{it}-\pi} 20ie^{it} \, dt \end{eqnarray}$ Nun weis ich an dieser Stelle nicht mehr weiter, da ich die Verschachtelung der Exponential und Sinusfunktion verwirren und ich keine zielbringende Umformung sehe. Über jede Hilfe und Hinweise wäre ich sehr dankbar. Liebe Grüße Basti
14.02.2016, 15:08	sebal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung komplexer Kurvenintegrale OK, schonmal ein kleiner Nachtrag von mir... (ich hab anscheinend ein Händchen dafür wichtige Formeln zu übersehen ) Ich weis nun, dass $\begin{eqnarray} f(a)Uml(\gamma,a) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma}^{} \! \frac{f(z)}{z-a} \, dx \end{eqnarray}$ Hierbei ist Ums die Umlaufzahl von a bzgl. Gamma (diese dürfen wir graphisch bestimmen). Wichtige Vorraussetztung ist, dass die Sinus Funktion holomorph ist. Wenn ich dies zeigen kann und für das zweite Integral, dass die Verknüpfung von exp und sin holomorph (bzw. Verknüpfungen von holomophen Funktionen holomorph ist) dann sollte die Aufgabe leichter als erwartet ausfallen. Oder? LG
14.02.2016, 15:44	sebal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung komplexer Kurvenintegrale Ok, ich hab mir jetzt alles selber zusammengebastelt. Daher wars eventuell etwas unnötig hier einen Post zu erstellen... Vielleicht hilft es ja aber dem ein oder anderen. Zur Holomorphie des Sinus (auch Cosinus) muss man sich die Exponentiell Funktion näher ansehen. Diese ist (wie ich hier nicht weiter ausführen werde) holomorph (Cauchy Riemann Gleichungen). Daraus ergibt sich dann auch schon die holomorphie von Sinus und Cosinus. Die Holomorphie des Verknüpfung folgt aus der Kettenregel für komplex differenziertere Funktionen. Somit sind obige Integrale mit der Formel bestimmbar. LG

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