Beweis L'Hospital

14.02.2016, 18:38

F14

Beweis L'Hospital

Meine Frage:
Hallo!

Kann man den Beweis für L'Hospital für den Fall
$\begin{eqnarray*} \frac{\infty }{\infty } \end{eqnarray*}$
nicht einfach durch Ersetzen von
$\begin{eqnarray*} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1/g(x)}{1/f(x)} \end{eqnarray*}$
verkürzen?

Meine Ideen:
Falls also nach l'Hospital für 0/0 der Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \frac{f^{2}}{g^{2}}*\frac{g'}{f'} \end{eqnarray*}$
existiert, so ist dieser Grenzwert gleich dem gesuchten, was durch
Umformen zu
$\begin{eqnarray*} \frac{f^{2}}{g^{2}}*\frac{g'}{f'} = \frac{f}{g} <br /> \Rightarrow \frac{f}{g} = \frac{f'}{g'} \end{eqnarray*}$
führt, wie gewünscht.

Ich hab aber irgendwie das Gefühl da stimmt was nicht, nehm ich etwas an, was nicht notwendigerweise gilt?

14.02.2016, 21:11

005

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis L'Hospital
Edit (mY+): Vollquote entfernt! Bitte im Interesse der Übersichtlichkeit von Quotas sparsam Gebrauch machen!

Gleichheitszeichen sind hier voellig fehl am Platze, womit sich auch Deine Umformung erledigt.

14.02.2016, 21:43

F14

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber sagt das nicht l'Hospital aus?

Nach jeweiligem Ableiten von Zähler und Nenner:
Wenn der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}\frac{f^2}{g^2}\frac{g'}{f'} \end{eqnarray*}$
existiert, so ist er gleich
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}\frac{f}{g} \end{eqnarray*}$
womit auch
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}\frac{g'}{f'} \end{eqnarray*}$
existiert, und man nach den Rechenregeln für (existente) Grenzwerte
dividieren kann und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}\frac{g'}{f'}=\lim_{x\to a}\frac{g}{f} \end{eqnarray*}$ folgt.
verwirrt

14.02.2016, 22:15

005

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von F14
Nach jeweiligem Ableiten von Zähler und Nenner:
Wenn der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}\frac{f^2}{g^2}\frac{g'}{f'} \end{eqnarray*}$
existiert, so ist er gleich
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}\frac{f}{g} \end{eqnarray*}$
womit auch
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}\frac{g'}{f'} \end{eqnarray*}$
existiert,

Wieso? Es koennte z.B. $\begin{eqnarray*} f(x)/g(x)\to0 \end{eqnarray*}$ gelten. Dann muss $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}\frac{g'}{f'} \end{eqnarray*}$ nicht existieren.
Ausserdem koennte auch ein unbestimmter Ausdruck der Form $\begin{eqnarray*} 0\cdot\infty \end{eqnarray*}$ auftreten.

Zitat:

und man nach den Rechenregeln für (existente) Grenzwerte
dividieren kann und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}\frac{g'}{f'}=\lim_{x\to a}\frac{g}{f} \end{eqnarray*}$ folgt.
verwirrt

Du teilst grosszuegig durch alles, was auch null oder $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ sein kann.

Neue Frage »

Antworten »

Beweis L'Hospital

Verwandte Themen