Transformationsmatrix

14.02.2016, 23:12	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformationsmatrix Hallo zusammen, mich beschäftigt momentan die Frage was die Transformationsmatrix einer diagonalisierbaren Matrix eigentlich aussagt. Wenn ich eine Matrix diagonalisieren kann, dann lässt sich diese darstellen als: $\begin{eqnarray} A=TDT^{-1} \end{eqnarray}$ wobei D eine Diagonalmatrix und T eine Transformationsmatrix ist. Generell lässt sich sagen das eine Matrix eine Darstellung einer linearen Abbildung ist um genauer zu sein eines Endomorphismus mit $\begin{eqnarray} f:V\to V \end{eqnarray}$ . Die Transformationsmatrix müsste nun aus den Basisvektoren dieser Abbildung bestehen sehe ich das richtig? Des Weiteren lässt sich sagen das $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ ein Element der $\begin{eqnarray} GL_N(\mathbb K) \end{eqnarray}$ also der algemeinen linearen Gruppe sein muss. Was lässt sich denn genau mit der Transformationsmatrix anstellen? Es wäre toll wenn jemand meine Verständnislücken etwas schließen könnte-
15.02.2016, 09:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Transformationsmatrix ist nur ein Hilfsmittel bei der Diagonalisierung diagonalisierbarer Matrizen. Ihre Existenz sichert die Diagonalisierbarkeit von A und damit die Existenz einer Basis aus Eigenvektoren des zugehörigen Endomorphismus f. Das ist wichtig, f macht nicht besonders Aufregendes sondern etwas besonders Einfaches mit V.
15.02.2016, 09:42	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, wenn das eine Basis des Endomorphismus $\begin{eqnarray} f:V\to V \end{eqnarray}$ ist lässt sich damit dann die ursprüngliche lineare Abbildung konstruieren? Da es Transformationsmatrix heißt müssten sich die Basisvektoren doch auch transformieren lassen indem diese zum Beispiel gedreht werden mittels Drehmatrizen? Das stelle ich mir dann explizit unter einer Transformation vor. Sind die Vektoren in der Eigenbasis immer linear unabhängig? Ich meine das müssten sie prinzipiell sein da sie sonst keine Basis bilden würden? Soweit Danke, ich habe danach noch weitere Fragen.
15.02.2016, 11:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist die lineare Abbildung, sie muss weder konstruiert noch transformiert werden. Bezüglich verschiedener Basen von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ hat $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ verschiedene Darstellungsmatrizen, $\begin{eqnarray} A=TDT^{-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ sind zwei Darstellungsmatrizen, wobei die Diagonalmatrix einfacher zu verstehen ist, weil sie die Eigenvektoren nur mit den Eigenwerten multipliziert und sonst nichts anstellt. $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ "transformiert" $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ vermöge Konjugation, ist auch eine "Transformation" (Automorphismus) von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , macht aber sicher nichts mit $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Vektoren einer Basis sind per def immer linear unabhängig und erzeugen $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ .
15.02.2016, 13:53	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, um das nochmal auf den Punkt zu bringen. Die Transformationsmatrix gibt die Basisvektoren des zugehörigen Endomorphismus an. Mehr lässt sich dazu nicht sagen. Ein weitere Frage habe ich noch. Es lässt sich wenn $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ nicht diagonalisierbar ist die Jordan Normalform $\begin{eqnarray} J_A \end{eqnarray}$ angeben. Hier gilt ebenfalls: $\begin{eqnarray} A=TJ_AT^{-1} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} T\in GL_n(\mathbb K) \end{eqnarray}$ ist. In dem Fall kann die Transformationsmatrix nicht die Basisvektoren des zugehörigen Endomorphismus enthalten sehe ich das richtig? Falls dem so ist was gibt mir in dem Fall die Transformationsmatrix an? Vielen Dank
15.02.2016, 14:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast mich völlig mißverstanden. Ein Endomorphismus ist eine Abbildung, eine Abbildung hat keine Basisvektoren. Jeder Vektorraum hat eine Basis. Zu gegebenem Endomorphismus sucht man nach Möglichkeit eine Menge von Eigenvektoren des Endomorphismus, die eine Basis des Vektorraumes sind. Falls vorhanden, ist die zum Endomorphismus gehörige Darstellungsmatrix diagonalisierbar, und die Transformationsmatrix führt diese Diagonalisierung durch. Wenn es keine Basis des Vektorraums aus Eigenvektoren des Endomorphismus gibt, dann transformiert man die Darstellungsmatrix auf Jordannormalform, die dazu gehörige Basis des Vektorraums besteht aus verallgemeinerten Eigenvektoren, und die Jordannormalform ist die Darstellungsmatrix des Endomorphismus bezüglich dieser Basis. Die Transformationsmatrizen sind nur Mittel zum Zweck, sie bewirken den Basiswechsel und ermöglichen die Berechnung der Normalformen.
Anzeige

15.02.2016, 14:47	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, dein Text ist schwer lesbar ohne geistige Absätze. Wenn ich das nun richtig verstanden habe: Die Transformationsmatrix gibt die Basisvektoren der darstellenden Matrix des Endomorphismus an. Ziel ist es ja die Matrix A in eine einfache Form zu bringen und die einfachste Form ist die Diagonalgestalt. Die beiden Transformationsmatrizen sind dann wie du sagst nur mittel zum Zweck um die Matrix auf Diagonalgestalt zu bringen. Bei der Jordannormalform ist die Matrix nicht diagonalisierbar aber man möchte dennoch eine annähernde Diagonalgestalt hinbekommen. Die Transformationsmatrizen dienen auch hier nur als Mittel zum Zweck um eine Matrix A als Diagonalmatrix darzustellen. Kann ich mir das so merken? Vielen Dank für deine Hilfe

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »