Erzeugendensystem und Aufspann

15.02.2016, 12:19

amateurphysiker_

Erzeugendensystem und Aufspann

Hi,

kann mir vielleicht jemand sagen, ob ich die Definition eines Erzeugendensystems richtig verstehe? (Unten dazu die Definition aus unserem Skript).

Sagen wir, wir haben die Vektoren
$\begin{eqnarray*} v_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, v_{2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, v_{3}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Dann waere $\begin{eqnarray*} span\left\{ v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} =\mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ , korrekt?

Dementsprechend waeren v1, v2, v3 dann kein Erzeugendensystem fuer $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ , da

$\begin{eqnarray*} span\left\{ v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} =\mathbb R ^3 \neq \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ ,

korrekt?

15.02.2016, 12:21

10001000Nick1

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Die Vektoren $\begin{eqnarray*} x_\alpha \end{eqnarray*}$ müssen natürlich alle aus dem Vektorraum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ kommen.

15.02.2016, 12:44

amateurphysiker_

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Ah ok, macht Sinn smile

Aber geht das aus der Definition hervor, oder ist das so offensichtlich, dass es vorausgesetzt wird?

15.02.2016, 12:48

10001000Nick1

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Der Span enthält alle möglichen Linearkombinationen der $\begin{eqnarray*} x_\alpha, \alpha\in I \end{eqnarray*}$ .
Und mit Vektoren kannst du nur Linearkombinationen erzeugen, die in demselben Vektorraum liegen wie die Vektoren selbst.

(Und wenn die $\begin{eqnarray*} x_\alpha \end{eqnarray*}$ nicht aus demselben Vektorraum kommen würden, kannst du ja nicht mal Linearkombinationen davon bilden. Augenzwinkern

)

15.02.2016, 15:19

amateurphysiker_

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Ok danke!

Bei der unteren Aufgabe soll gezeigt werden, dass es sich um ein Erzeugendensystem handelt. Kann ich das tun in dem ich das LGS wie folgt löse und damit zeigen, dass ein beliebiger Vektor (x,y,z) des R3 durch dieses System dargestellt werden kann?

15.02.2016, 16:05

klarsoweit

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Ich bevorzuge die Vorgehensweise, daß man die Vektoren zeilenweise in eine Matrix einträgt und dann das Gauß-Verfahren durchführt. Danach bilden die Nicht-Nullzeilen als Vektoren eine Basis. smile

15.02.2016, 16:28

amateurphysiker_

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Danke, das werd ich mal versuchen.

Funktioniert mein Ansatz auch?

15.02.2016, 16:49

10001000Nick1

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Ja, das geht auch. Bloß hat klarsoweits Vorschlag den Vorteil, dass man Aufgabe b) gleich mitlöst. smile

16.02.2016, 12:21

amateurphysiker_

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Ah ok, alles klar.

Aber wie argumentiere ich dann bei dem vorgeschlagenen Vorgehen?

Ich habe dann ja nach Umformung dastehen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kann ich so argumentieren?

1. Die drei Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \end{eqnarray*}$ sind linear unabhaengig und bilden daher eine Basis des R3.

2. Dementsprechend bilden die ursrpünglichen sechs Vektoren ein Erzeugendensystem, da die in (1) genannte Basis eine Linearkombination dieser 6 Vektoren darstellt.

3. Die sechs Vektoren bilden aber keine Basis, da dim(R3)=3 und deshalb die Basis nur aus drei Vektoren besteht.

Passt das?

Damit haette ich aber noch keine Basis aus den 6 ursrpuenglichen Vektoren ausgewaehlt...

Danke.

16.02.2016, 12:53

10001000Nick1

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Die ersten drei Zeilen der Matrix nach dem Gauß-Algorithmus sind Nicht-Nullzeilen; d.h. die Vektoren, die am Anfang in diesen drei Zeilen standen, sind linear unabhängig und deshalb eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

16.02.2016, 13:24

amateurphysiker_

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Das versteh ich nicht. Kann man das wirklich so sagen?

Die Matrix vor dem GA koennte ja z.b. so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann kann man IV auf I addieren, V auf II, VI auf III und dann dastehen haben:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da wuerde das was du sagst nicht zutreffen oder?

16.02.2016, 13:54

RavenOnJ

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Zitat:

Original von amateurphysiker_

Damit haette ich aber noch keine Basis aus den 6 ursrpuenglichen Vektoren ausgewaehlt...

Solange du nicht den Nullvektor asuwählst, kannst du drei der 6 Vektoren auswählen und für ein Paar von diesen prüfen, ob eine Linearkombination den dritten ergibt. Wenn nein, dann hast du eine Basis.

17.02.2016, 10:22

10001000Nick1

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Zitat:

Original von amateurphysiker_
Da wuerde das was du sagst nicht zutreffen oder?

Stimmt, das war natürlich Quatsch. Hammer

17.02.2016, 11:49

RavenOnJ

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Vollkommen egal, wo die Nullzeilen stehen. Hauptsache, es bleiben drei linear unabhängige Zeilenvektoren übrig, damit der Span den ganzen dreidimensionalen Vektorraum ausfspannt.Sind es mehr Nullzeilen, so hat der aufgespannte Unterraum entsprchend niedrigere Dimension.

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