Zusammenhang von Matrixmultiplikation bzgl. LGS

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balance Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhang von Matrixmultiplikation bzgl. LGS
Hallo,

Ich versteh eine Matrix als Werkzeug um z.B. ein Gleichungssystem zu lösen.

Beispiel:

Frage 1: Was ist der "Zusammenhang" (hier das entspricht Zeichen) zwischen eimem LGS und einer Matrix mathematisch betrachtet genau?

Nun kann man ja eine Inverse zur obigen Matrix finden: wobei nun ja gilt:

Frage 2: Nun frage ich mich, wie ich die Inverse sowie die Multiplikation in Bezug auf das ursprüngliche LGS verstehen soll. Ich kann die Inverse ja wieder als LGS schreiben, doch "was" entsprich der Multiplikation der Matrix mal derren Inversen hinblicklich LGS? (Hoffe man versteht mich.) Ich möchte sozusagen die Matrixoperation "multiplikation" auf eine Operation bzgl. LGS verstehen.

Bemerkung: Hintergrund all dieser Überlegungen ist, dass ich das invertieren von Matrizen verstehen will. Damit meine ich nicht, den Algorithmus zu beherrschen, sondern zu verstehen, wieso der Algorithmus so aussieht wie er nunmal aussieht. Ich denke, dass sollte sich auf reine Operationen bzgl. eines Gleichungssystemes "reproduzieren" lassen, nicht?

Ich hoffe ich habe mich korrekt ausgedrückt. smile In einfachen Worten: Wenn Matrix A einem LGS entspricht und Matrix B auch einem, dann kann man A*B berechnen. Daraus folgere ich, ich kann auch LGS multiplizieren, doch wie geht das?

Mir ist "klar" das Matrizen ein Konzept sind und nicht per se mit einem LGS identifiziert werden können - ich versuche bloss den Spagat irgendwie zu machen.

Ich hoffe wir können ein wenig darüber diskutieren so dass es mir klarer wird. smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Grundbegriff der linearen Algebra ist der Vektorraum.

Eine lineare Abbildung wird bezüglich einer Basis des Vektorraums durch eine Matrix dargestellt. Matrizenmultiplikation entspricht in diesem Zusammenhang der Hintereinanderausführung von Matrizen.

Ein lineares Gleichungssystem Ax=b kann aufgefaßt werden als lineare Abbildung mit Darstellungsmatrix A. Die Lösungsmenge ist die Nebenklasse nach einem Untervektorraum.

Es ist eher zufällig, dass Matrizen eine Rolle einerseits bei linearen Abbildungen und andererseits bei LGSen spielen, daher sollte man nicht zu sehr nach Zusammenhängen suchen, die vermutlich gar nicht existieren.
 
 
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RE: Zusammenhang von Matrixmultiplikation bzgl. LGS
Frage 1: Dein Gleichungssystem lässt sich unter Verwendung der Matrixschreibweise kompakter darstellen als

oder mit passenden Bezeichnungen . Zunächst ist es auch nicht mehr als das - eine kompakte Schreibweise.
Hat A- wie hier - eine Inverse, dann folgt sofort .

Löst man das LGS mit Gauß, dann lässt man die erste Zeile unverändert und subtrahiert von der zweiten Zeile die erste. Das ergibt die Matrix

Diese Matrix bekommt man auch durch folgende Matrixmultiplikation

Die erste Matrix ist eine Elementarmatrix ( Lesen1 !) Weil man sie von links heranmultipliziert, beschreibt sie genau die durchgeführte Zeilenumformung. Mach dir das klar, dann reden wir über die Interpretation der Inversen.
balance Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten. Also, ich habe ebene begonnen eine grosse Antwort zu schreiben aber mich dagegen entschieden diese zu posten.

Ich werde mich noch ein wenig damit vertiefen und dann Antworten - das kann 1-3 Tage dauern. smile
balance Auf diesen Beitrag antworten »

Also mir ist das was bisher gesagt wurde klar. Ich versuch evtl. doch ein wenig etwas zusehen, was sozusagen gar nicht hier ist. Ich versuch/te halt, alles ein wenig besser zu verstehen, indem ich es auf Gleichungssysteme zurückführ/te.

Wie dem auch sei, mir ist klar dass eine Elementarmatrix eine Zeilen/Spaltenumformung entspricht.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Elementarmatrix "entspricht" nicht einer Zeilen/Spaltenumformung (das ist viel zu schwammig ausgedrückt).
Die Multiplikation einer erweiterten Koeffizientenmatrix A|b eines LGS Ax=b mit einer Elementarmatrix V von links, also V.A|b, ist eine Zeilenumformung des LGS zum LGS VAx=Vb. Die Multiplikation einer erweiterten Koeffizientenmatrix A|b eines LGS Ax=b mit einer Elementarmatrix V von rechts, also A|b.V, ist eine Spaltenumformung des LGS zu AVx=bV (oder so ähnlich, siehe Vorlesung oder Literatur)
Weil Elementarmatrizen regulär sind ist dieser Vorgang reversibel und die Lösungsmengen der LGSe sind offensichtlich identisch.
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und um das abzuschließen: Die Inverse repräsentiert also alle Zeilenumformungen, die du machen musst, um dein LGS auf Diagonalform zu bringen.
Und so kann man - zumindest bei kleinen Matrizen - die Inverse auch berechnen. Man schreibt neben die Matrix die Einheitsmatrix, macht so lange Zeilenumformungen, bis aus der Matrix die Einheitsmatrix geworden ist, und hat dann daneben die Inverse stehen.
balance Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, danke.
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