Grenzwert der Reihe k/2^k

15.02.2016, 19:28	Sceptical	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert der Reihe k/2^k Meine Frage: Ich möchte den Grenzwert der Reihe k/2^k von k=1 bis unendlich berechnen. Meine Ideen: Ich denke der Ansatz ist, dass man es in eine geometrische Reihe umschreibt, aber dafür stört das k im zähler ein wenig. Ich habe hierfür leider keine Ansatz und brauche dafür ein wenig Starthilfe! Grüße
15.02.2016, 19:33	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrische Reihe ist schon mal gut: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty x^k =\frac{1}{1-x} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|x\|<1 \end{eqnarray}$ . Differenziere das auf beiden Seiten nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , dann hast du eine Formel für deine Reihe.
15.02.2016, 20:18	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz ohne Differentialrechnung kannst Du auch, ähnlich wie bei der Entwicklung der geometrischen Summenformel, vorgehen. Setze dazu zunächst: $\begin{eqnarray} S:=\sum_{k=1}^\infty kx^k \end{eqnarray}$ und folgere $\begin{eqnarray} x\cdot S=\sum_{k=2}^\infty (k-1)x^k. \end{eqnarray}$ Dann gilt weiter: $\begin{eqnarray} (1-x)S=\sum_{k=1}^\infty x^k=\frac x{1-x}. \end{eqnarray}$

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