LGS mit komplexen Zahlen

16.02.2016, 05:09

FrankoBlanco

LGS mit komplexen Zahlen

Guten Morgen,

ich habe folgendes LGS:

$\begin{eqnarray*} I: -3ix_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II: x_1 -3ix_2 - 2x_3 + x_4 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} III: -3ix_3 - 3x_4 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} IV: 3x_3 - 3ix_4 = 0 \end{eqnarray*}$

Folgendes habe ich gelöst:

$\begin{eqnarray*} IV: 3x_3 - 3ix_4 = 0 \Leftrightarrow x_3 = ix_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} IV in III: -3i²x_4 - 3x_4 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} IV in II:x_1 -3ix_2 - 2x_3 + x_4 = 0 \Leftrightarrow x_1 = 3ix_2 + 2ix_4+x_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II in I: -3ix_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 = 0 \Leftrightarrow 10x_2 = -2ix_4 - x_4 \end{eqnarray*}$

Ergebnis soll [ 5-î ; -7-5î ; 10î ; 10 ] sein.

Wie komme ich darauf?
Ich versuche es schon seit einer gefühlten Eweigkeit und bin für Tipps und Tricks dankbar smile

16.02.2016, 08:04

Leopold

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RE: LGS mit komplexen Zahlen

Zitat:

Original von FrankoBlanco
$\begin{eqnarray*} IV in II:x_1 -3ix_2 - 2x_3 + x_4 = 0 \Leftrightarrow \color{red} x_1 = 3ix_2 + 2ix_4+x_4 \end{eqnarray*}$

Richtig wäre

$\begin{align*} x_1 = 3 \operatorname{i} x_2+2 \operatorname{i} x_4 - x_4 \end{align*}$

Zitat:

Original von FrankoBlanco
$\begin{eqnarray*} II in I: -3ix_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 = 0 \Leftrightarrow \color{red} 10x_2 = -2ix_4 - x_4 \end{eqnarray*}$

Richtig wäre

$\begin{align*} 10 x_2 = -5 \operatorname{i} x_4 - 7 x_4 \end{align*}$

Zitat:

Original von FrankoBlanco
Ergebnis soll [ 5-î ; -7-5î ; 10î ; 10 ] sein.

Unklare Schreibweise. Gemeint ist hier kein Vektor, sondern der vom Vektor $\begin{align*} a = \left( \, 5 - \operatorname{i} \, , \, -7 - 5 \operatorname{i} \, , \, 10 \operatorname{i} \, , \, 10 \, \right) \end{align*}$ erzeugte Unterraum $\begin{align*} U = \langle a \rangle \end{align*}$ .

19.02.2016, 06:16

FrankoBlanco

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Mir ist aber leider nicht klar, wie ich von meinem LGS auf diesen Vektor kommen...

19.02.2016, 08:39

klarsoweit

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RE: LGS mit komplexen Zahlen
Falls du das Gauß-Verfahren kennst, sollte diese Frage eigentlich gar nicht auftreten. Nun gut. Du hast jetzt diese Gleichungen:

Zitat:

Original von FrankoBlanco
$\begin{eqnarray*} IV: 3x_3 - 3ix_4 = 0 \Leftrightarrow x_3 = ix_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} IV in II:x_1 -3ix_2 - 2x_3 + x_4 = 0 \Leftrightarrow x_1 = 3ix_2 + 2ix_4+x_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II in I: -3ix_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 = 0 \Leftrightarrow 10x_2 = -2ix_4 - x_4 \end{eqnarray*}$

wobei du noch die von Leopold angemerkten Korrekturen einbauen mußt. Jetzt wählst du x_4 = 10 und löst sukzessiv auf. smile

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