Konvergenz einer Reihe

16.02.2016, 17:32

Mathematikerinnen

Konvergenz einer Reihe

Meine Frage:
Betrachten Sie die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n\sqrt{n}+\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$ .

Untersuchen Sie, welche Aussagen über die Konvergenz der Reihe aus
a) dem Quotientenkriterium
b) dem Cauchyschen Verdichtungssatz

folgen.

Meine Ideen:
Klingt ja eigentlich einfach. Die Sache ist nur die, dass ich beim Quotientenkriterium überhaupt nicht zu irgendeiner Aussage komme, ich sehe nichts, was man sinnvoll kürzen könnte. Beim Cauchy-Verdichtungssatz komme ich auf $\begin{eqnarray*} \sqrt{2^{n} } \end{eqnarray*}$ , weiß aber nicht, ob das konvergiert oder nicht.

Bitte um Hilfe!

17.02.2016, 08:10

bijektion

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Dann schreib mal hin, was rauskommt.

Bei (b) kann ich

Zitat:

Beim Cauchy-Verdichtungssatz komme ich auf $\begin{eqnarray*} \sqrt{2^{n} } \end{eqnarray*}$ [...]

nicht einsehen.

17.02.2016, 09:18

Mathematikerinnen

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Da hätte ich also $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{2^{n} }{2^{n}\sqrt{2^{n }}+\sqrt{2^{n} } } \end{eqnarray*}$ und frag mich nicht, wie ich da jetzt auf den Term aus meinem ersten Beitrag gekommen bin, aber es kann offensichtlich nicht stimmen. Man könnte umformen in $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{2^{n} }{2^{n+1}\sqrt{2^{n }} } \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{\sqrt{2^{n }} }{2^{n+1} } \end{eqnarray*}$ , aber dann komm ich auch nicht weiter. Und beim Quotientenkriterium hänge ich auch noch. Kann jemand auflösen?

17.02.2016, 09:20

Mathematikerinnen

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sorry, die +1 darf natürlich nicht im Exponent stehen

17.02.2016, 09:28

bijektion

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Sehe ich nicht. Ich komme auf $\begin{eqnarray*} \frac{2^{\frac{n}{2}}}{2^n+1} \end{eqnarray*}$ .

17.02.2016, 09:56

Mathematikerinnen

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ja, das hatte ich auch im nächsten Beitrag korrigiert, war ein Tippfehler. Aber wie weiter?

17.02.2016, 10:10

klarsoweit

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Meines Erachtens muß man auch das Majorantenkriterium einsetzen. Es ist: $\begin{eqnarray*} \frac{2^{\frac{n}{2}}}{2^n+1} < \frac{2^{\frac{n}{2}}}{2^n} \end{eqnarray*}$ smile

Und wo hast du ein Problem beim Quotientenkriterium?

17.02.2016, 10:21

Mathematikerinnen

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ok, also mit Cauchy-Verdichtungssatz+Majorantenkriterium hätte man die Konvergenz der Reihe.

Mit dem Quotientenkriterium: $\begin{eqnarray*} | \frac{a_{n+1} }{a_{n} } | = \frac{\frac{1}{n+1\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1} }}{ \frac{1}{n\sqrt{n}+\sqrt{n} } } = \frac{(n+1)\sqrt{n}}{(n+2)\sqrt{n+1} } = \frac{\sqrt{n+1 }\sqrt{n} }{n+2} \end{eqnarray*}$

aber dann komm ich nicht weiter.

17.02.2016, 10:42

klarsoweit

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Du hast recht. Hammer

In diesem Fall kann man mit dem Quotientenkriterium keine Aussage über die Konvergenz machen. smile

17.02.2016, 11:09

Mathematikerinnen

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Beim Üben hab ich noch zwei andere Aufgaben gemacht:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{n!}{2^{n}} \end{eqnarray*}$

hier komme ich mit dem Quotientenkriterium auf 0,5n+0,5. Das würde ja nicht für Konvergenz sprechen. Aber das Quotientenkriterium ist ja nur hinreichend, aber nicht notwendig für Konvergenz... Und mit dem Cauchy-Verdichtungssatz scheint es hier ja nicht weiterzugehen. Was tun?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{\sqrt{logn} }{n^{2}} \end{eqnarray*}$

Kann man hier einfach $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1 }{n^{2}} \end{eqnarray*}$ als konvergente Majorante nehmen und daraus Konvergenz folgern?

Danke!!

17.02.2016, 11:25

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathematikerinnen
hier komme ich mit dem Quotientenkriterium auf 0,5n+0,5. Das würde ja nicht für Konvergenz sprechen.

Korrekt. Das spricht sogar für Divergenz. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Mathematikerinnen
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{\sqrt{logn} }{n^{2}} \end{eqnarray*}$

Dummerweise ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1 }{n^2} \end{eqnarray*}$ keine Majorante. smile

Der Cauchy-Verdichtungssatz sollte hier aber funktionieren.

17.02.2016, 11:30

Mathematikerinnen

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stimmt, das mit der Majorante ist quatsch. Mit Cauchy-Verdichtungssatz komme ich aber nur auf $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{\sqrt{n*log2} }{2^{n} } \end{eqnarray*}$ .

Das sagt mir ja noch nichts über Konvergenz.

17.02.2016, 11:49

klarsoweit

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Da geht jetzt aber wieder das Quotientenkriterium. Augenzwinkern

17.02.2016, 12:21

Mathematikerinnen

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Sorry, aber da komme ich überhaupt nicht zu irgendeinem schlüssigen Ergebnis. Wie soll ich denn die Wurzeln da wegkriegen?
Kannst du mir die Aufgabe mal genau zeigen?

17.02.2016, 12:42

klarsoweit

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Vielleicht hast du mich mitverstanden. Auf $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{\sqrt{n*log2} }{2^n} \end{eqnarray*}$ solltest du das Quotientenkriterium anwenden. Ich denke, das schaffst du. smile

17.02.2016, 12:59

Mathematikerinnen

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ah, okay.
Gut, dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n+1} }{2\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$ und wieder hänge ich... Obwohl, eigentlich könnte man ja sagen, dass Wurzel (4n) im Nenner stets größer ist als Wurzel (n+1) im Zähler und damit der Bruch immer kleiner als ein q kleiner 1... Würde das als Begründung ausreichen?

17.02.2016, 15:41

HAL 9000

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Gib lieber ein solches $\begin{align*} q \end{align*}$ konkret an, dann bist du auf der sicheren Seite: Dass der Quotient <1 für alle $\begin{align*} n \end{align*}$ ist, reicht nämlich allein nicht - das gilt auch für die bekanntermaßen divergente harmonische Reihe... unglücklich

Aber es geht z.B. so: $\begin{align*} \frac{\sqrt{n+1}}{2\sqrt{n}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{n+1}{n}} = \frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{1}{n}} \leq \frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{1}{1}} = \frac{\sqrt{2}}{2} =: q \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\geq 1 \end{align*}$ ,

Und für dieses $\begin{align*} q \end{align*}$ gilt $\begin{align*} q<1 \end{align*}$ .

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