Lineare Abbildung, Bild, Kern

16.02.2016, 18:09

amateurphysiker_

Lineare Abbildung, Bild, Kern

Ich hab ein Problem mit der folgenden Abbildung in Teil a). Leider habe ich keine Ahnung wie ich das verstehen soll.

Was ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R \left[t\right] \end{eqnarray*}$ ?
Wieso bildet $\begin{eqnarray*} \phi(p) \end{eqnarray*}$ t ab und nicht p?
Und was fange ich mit $\begin{eqnarray*} p(1)+p(t^{2}) \end{eqnarray*}$ an?

Irgendwie scheine ich komplett auf dem Schlauch zu sitzen...

Waere ueber jeden Tip dankbar!!

16.02.2016, 18:45

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Über welchem Körper ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R[t] \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum ? Überlege, warum die Antwort auf diese Frage die Antwort auf deine Frage ist. Tipp: $\begin{eqnarray*} \varphi(p)=\varphi(\sum_{k=0}^na_kt^k) \end{eqnarray*}$

16.02.2016, 19:50

amateurphysiker_

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Elvis, danke fuer die Antwort!

Zitat:

Original von Elvis
Über welchem Körper ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R[t] \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum?

Ich versteh leider gar nicht was $\begin{eqnarray*} \mathbb R[t] \end{eqnarray*}$ bedeuten soll? Ist das zu verstehen wie $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{t} \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Elvis
Tipp: $\begin{eqnarray*} \varphi(p)=\varphi(\sum_{k=0}^na_kt^k) \end{eqnarray*}$

Woraus folgt das denn jetzt?

16.02.2016, 20:02

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \mathbb R[t] \end{eqnarray*}$ ist der Vektorraum aller reellen Polynome.

16.02.2016, 20:18

amateurphysiker_

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wofuer stehen t und p?

17.02.2016, 08:54

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

p ist ein Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb R[t] \end{eqnarray*}$ und somit also ein Polynom. p hat also die Darstellung $\begin{eqnarray*} p(t) = \sum_{k=0}^n a_k t^k \end{eqnarray*}$ . Dabei ist also t die (reellwertige) Funktionsvariable.

Die Abbildung phi macht aus einem Polynom ein "neues" Polynom, nämlich $\begin{eqnarray*} \varphi(p) \end{eqnarray*}$ .
Die Funktionsvorschrift dieses Polynoms lautet: $\begin{eqnarray*} \varphi(p)(t) = p(1) + p(t^2) \end{eqnarray*}$

17.02.2016, 17:19

amateurphysiker_

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit
p ist ein Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb R[t] \end{eqnarray*}$ und somit also ein Polynom. p hat also die Darstellung $\begin{eqnarray*} p(t) = \sum_{k=0}^n a_k t^k \end{eqnarray*}$ . Dabei ist also t die (reellwertige) Funktionsvariable.

DANKE!! Jetzt hab ich es einigermaßen verstanden!

Also dann ist $\begin{eqnarray*} p(t^2) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 \end{eqnarray*}$ ?

Und was ist dann p(1)?

17.02.2016, 18:32

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

... einigermaßen verstanden ... das wäre schön ...

$\begin{eqnarray*} p(t)=\sum_{k=0}^na_kt^k\Rightarrow p(1)=\sum_{k=0}^na_k1^k=\sum_{k=0}^na_k,p(t^2)=\sum_{k=0}^na_k(t^2)^k=\sum_{k=0}^na_kt^{2k} \end{eqnarray*}$

Jetzt musst Du nur noch $\begin{eqnarray*} \varphi(p) \end{eqnarray*}$ berechnen und (möglichst mühsam) beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ linear ist.

Tipp 1: Ja, selbstverständlich ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ linear Big Laugh

Das ist trivial.
Tipp 2: Wenn Du nicht drauf kommst, warum das trivial ist, verrate ich es dir Augenzwinkern

Tipp 3: Bevor Du fragst, solltest Du trotzdem rechnen ... das ist eine schöne Übung
(nein, ich meine das nicht sarkastisch,
das Rechnen mit Polynomen als Vektoren fördert das Verständnis für Vektorräume und lineare Abbildungen und lineare Algebra im allgemeinen Lehrer

)

17.02.2016, 19:10

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Abbildung, Bild, Kern

Zitat:

Original von klarsoweit
Dabei ist also t die (reellwertige) Funktionsvariable.

Zwar nur ein Detail, aber: Ich würde t nicht unbedingt als "reellwertige Variable" bezeichnen; das IR bezieht sich lediglich auf die Koeffizienten, nicht auf t. Wenngleich hier auch 1 eingesetzt wird. Man sollte nur im Allgemeinen nicht den Fehler begehen, die Herkunft der Koeffizienten mit dem gleichzusetzen, was man für t einsetzen kann. So ein Element eines Polynomrings muss man ja schon von diesen ganzrationalen Funktinonen, wie man sie aus der Schule kennt, unterscheiden. Das nur als kleine Anmerkung für den Fragesteller.

18.02.2016, 10:47

amateurphysiker_

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Elvis
... einigermaßen verstanden ... das wäre schön ...

Ok vielleicht noch nicht so ganz smile

Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} p(t)=\sum_{k=0}^na_kt^k\Rightarrow p(1)=\sum_{k=0}^na_k1^k=\sum_{k=0}^na_k,p(t^2)=\sum_{k=0}^na_k(t^2)^k=\sum_{k=0}^na_kt^{2k} \end{eqnarray*}$

Jetzt musst Du nur noch $\begin{eqnarray*} \varphi(p) \end{eqnarray*}$ berechnen und (möglichst mühsam) beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ linear ist.

Ist meine Vorgehensweise richtig (siehe Anhang)?

@Mulder: Danke für den Hinweis!

18.02.2016, 11:33

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis ist am Ende korrekt. Zwischendrin paßt für mich die formale Vorgehensweise nicht. So ist es richtig:

$\begin{eqnarray*} \varphi(p+q) = (p+q)(1) + (p+q)(t^2) = \sum_{k=0}^n (a_k + b_k) + \sum_{k=0}^n (a_k + b_k) t^{2k} = \sum_{k=0}^n a_k + \sum_{k=0}^n a_k t^{2k} + \sum_{k=0}^n b_k + \sum_{k=0}^n b_k t^{2k} = p(1) + p(t^2) + q(1) + q(t^2) = \varphi(p) + \varphi(q) \end{eqnarray*}$

Und jetzt machst du den Beweis für lambda nochmal neu. smile

19.02.2016, 15:52

amateurphysiker_

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Wie ist es damit? Passt das so?

22.02.2016, 10:10

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, kann man gelten lassen. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Lineare Abbildung, Bild, Kern

Verwandte Themen