Konvergenz der Folge

17.02.2016, 15:51

Hömafürdummies

Konvergenz der Folge

Die Aufgabe lautet: Untersuchen Sie die folgende Folge $\begin{eqnarray*} (a_{n} ), n\geq 1 \end{eqnarray*}$ auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls ihre Grenzwerte:
$\begin{eqnarray*} a_{n} = (1-\frac{1}{4})*(1-\frac{1}{9}) ...(1-\frac{1}{(n+1)^{2} } ) \end{eqnarray*}$
Hinweis zur Lösung:
$\begin{eqnarray*} a^2+b^2 = (a-b)(a+b) \end{eqnarray*}$

Ich bin mir einfach nicht sicher, wie ich vorgehen soll und vorallem auch nicht was mir der Hinweis mit der binomischen Formel beim bestimmen der Konvergenz/ dem Grenzwert helfen soll. Ich weiß, dass ich die Folge auch als Produkt von k=1 bis n darstellen könnte allerdings glaube ich nicht, dass mir das bei der Lösung helfen kann. Reihen hatten wir zu diesem Zeitpunkt noch nicht in der Übung es muss einen Trick geben den ich übersehe unglücklich

Wäre dankbar, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte smile

17.02.2016, 16:00

HAL 9000

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Mehr Mut zum "probieren" !!!
Rechne doch mal die ersten paar Glieder konkret aus, also so z.B. $\begin{align*} a_1,\ldots,a_5 \end{align*}$ , dann kommst du vielleicht auf eine Vermutung, welch einfache Gestalt das allgemeine Folgenglied hat.

Dies ist anschließend natürlich nachzuweisen, etwa mit einem (kurzen) Beweis per Vollständiger Induktion. Die Grenzwertbildung ist dann kein Problem mehr, wenn du diesen einfachen Term siehst. Augenzwinkern

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Oder von mir aus auch "direkt": Gemäß der bereits empfohlenen dritten binomischen Formel ist $\begin{align*} 1 - \frac{1}{k^2} = \left(1 - \frac{1}{k}\right)\cdot \left(1 + \frac{1}{k}\right) = \frac{k-1}{k}\cdot \frac{k+1}{k} \end{align*}$ , damit gilt

$\begin{align*} a_n = \left( \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\right) \cdot \left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\right)\cdot \ldots \cdot \left(\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n+1}{n}\right) \cdot \left(\frac{n}{n+1}\cdot \frac{n+2}{n+1}\right) \end{align*}$ .

Jetzt kannst du kräftig kürzen - was bleibt übrig?

17.02.2016, 18:52

Hömafürdummies

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Ich bin wohl zu blöd...

$\begin{eqnarray*} \frac{ 3 }{4 } , \frac{ 2 }{3 }, \frac{5 }{8 }, \frac{3 }{5 }, \frac{7 }{12 }, \frac{9 }{16 } \end{eqnarray*}$

Das sind die ersten Felgenglieder aber ich sehe keine Regel...

17.02.2016, 19:21

HAL 9000

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Nun, zum einen ist der letzte Wert bei dir $\begin{align*} a_6 \end{align*}$ , während $\begin{align*} a_5 \end{align*}$ davor fehlt.

Wenn man bei den geraden Indizes mal nicht voll kürzt, steht da

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}, \frac{4}{6}, \frac{5}{8}, \frac{6}{10}, \frac{7}{12}, \frac{8}{14}, \frac{9}{16} \end{eqnarray*}$ .

17.02.2016, 21:22

Hömafürdummies

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Vorschrift der Folge
Ok ja es ist offensichtlich, dass die Bildungsvorschrift

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2n} \end{eqnarray*}$

ist. Wenn man nun den limes bildet kommt man direkt darauf, dass der Grenzwert 1/2 ist soweit klar. Wenn ich nach dem Anwenden des "Tricks" mit der binomischen Formel kürze erhalte ich ja
$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2} * \frac{4}{3} )*...*(\frac{n-1}{n}*\frac{n+2}{n+1}) \end{eqnarray*}$
, da sich die mittleren Faktoren jeweils wegkürzen. Sehe immer noch nicht die Lösung wie ich hier weitermache

17.02.2016, 21:45

HAL 9000

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Die mittleren Faktoren fallen weg, ja und zwar alle:

$\begin{align*} a_n = \frac{1}{2}\cdot \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}\right)\cdot \left(\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{4} \right) \cdot \ldots \cdot \left(\frac{n+1}{n} \cdot \frac{n}{n+1}\right)\cdot \frac{n+2}{n+1} = \frac{1}{2}\cdot \frac{n+2}{n+1} \end{align*}$ .

Anscheinend hast du das Kürzen bei den $\begin{align*} \ldots \end{align*}$ gestoppt - du musst natürlich mitdenken, wie es da weitergeht. unglücklich

17.02.2016, 21:56

Hömafürdummies

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das ist meist so leicht aber ich sehe es einfach nicht wechsle wohl am besten doch den Studiengang unglücklich

aber vielen dank :-D
Wenn ich dem Hinweis mit der binomischen Formel folge muss ich aber ja nichts mehr mit Induktion beweisen, sondern nur wenn ich das Bildungsgesetz aus den ersten Folgengliedern praktisch frei aus dem nichts hergeleitet hätte oder ?

17.02.2016, 22:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von Hömafürdummies
Wenn ich dem Hinweis mit der binomischen Formel folge muss ich aber ja nichts mehr mit Induktion beweisen, sondern nur wenn ich das Bildungsgesetz aus den ersten Folgengliedern praktisch frei aus dem nichts hergeleitet hätte oder ?

Richtig, da ist alles nachgewiesen bei diesem zweiten Weg. Das mit den ... ist de facto Induktion durch die Hintertür, ohne es so zu nennen. Augenzwinkern

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