Matrizen mit bestimmten Eigenschaften finden

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17.02.2016, 22:00	soj1994	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizen mit bestimmten Eigenschaften finden Meine Frage: Folgende Aufgabe ist gegeben: Geben Sie eine quadratische 3x3-Matrix an, die a) einen reellen Eigenwert bestitzt und nicht diagonalisierbar ist. b) orthogonal, invertierbar und symmetrisch ist. c) bezüglich der Standardbasis ein Skalarprodukt beschreibt, das nicht das Standardskalarprodukt ist. Meine Ideen: zu a.) habe ich mir als Beispiel die Nullmatrix überlegt. Diese hat nur den reellen EW 0, wie kann ich hier noch begründen, dass sie nicht diagonalisierbar ist? Etwa wegen der Dimension? zu b.) habe ich als Überlegung die Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wäre das richtig? zu c.) habe ich überhaupt keine Idee, kann mir da jemand einen Tipp geben, was mit "nicht Standardskalarprodukt" gemeint ist? Danke!
18.02.2016, 08:36	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Die Nullmatrix ist schon eine Diagonalmatrix- das geht also nicht. Außerdem hast du hier die Null als dreifachen reellen Eigenwert. b) Die Matrix ist nicht orthogonal. c) Welche Voraussetzungen hast du denn für ein Skalarprodukt?
18.02.2016, 14:00	soj1994	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Dann bin ich überfragt, könnte ich den ersten Wert durch 1 ersetzen? Wäre das dann nicht diagonalisierbar? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ b) Orthogonal bedeutet, dass die Matrix multipliziert mit ihrer transponierten Version die Einheitsmatrix ergibt, richtig? Dann muss ich da mal weitertüfteln. c) Als Vorraussetzungen habe ich Bilinearität, nicht entartet, symmetrisch, positiv-definit. Aber was bedeutet Standardskalarprodukt?
18.02.2016, 14:06	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Nein, weißt du was Diagonalisierbar bedeutet? b) Genau. c) Das Standardsskalarprodukt im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ ist etwa $\begin{eqnarray} a\cdot b:=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 \end{eqnarray}$ .
18.02.2016, 16:29	soj1994	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom komplett in Linearfaktoren zerfällt und wenn die Dimension mit der Vielfachheit dieses Eigenwertes übereinstimmt. c) Wie wäre es denn, wenn es nicht dem Standardskalarprodukt entspricht?
18.02.2016, 16:48	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Genau, dass trifft oben immer zu. Diagonalmatrizen haben nur auf der Diagonale Werte, die verschieden von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ sind. c) Das kannst du mit symmetrischen, positiv definiten Matrizen machen. Insb. mit Diagonalmatrizen, bei denen alle Eigenwerte positiv sind.
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18.02.2016, 20:03	soj1994	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Heißt im Umkehrschluss eine Matrix, die "Nichtdiagonalelemente" alle ungleich 0 haben muss wird hier gesucht? c) Also wäre die Lösung hier z.B.: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
21.02.2016, 12:16	soj1994	Auf diesen Beitrag antworten »
zu b) würde mir folgende relativ einfache Matrix einfallen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ zu a) bräuchte ich wirklich mal eine Beispiellösung, wäre toll, wenn die jemand geben könnte.
21.02.2016, 21:02	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn wir über reelle Matrizen reden, dann hilft eine Drehmatrix. Bei b) ist übrigens die Einheitsmatrix auch ein Exemplar

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