Faltungen von Indikatorfunktionen

17.02.2016, 22:21	AnnaNatascha	Auf diesen Beitrag antworten »
Faltungen von Indikatorfunktionen Meine Frage: Hallo zusammen, im Moment sitze ich vor folgender Aufgabe: [attach]40922[/attach] Meine Ideen: Den Teil der lösung, um den es geht habe ich hier: [attach]40923[/attach] Was mir nicht ganz klar ist, ist wie ich auf die grün umkrigelten Grenzen komme...klar weiß ich für welche Werte mein spezielles Integral definiert ist...aber wie komme ich denn genau auf die Integrationsgrenzen? Kann mir jemand einen Tipp geben? Bei der zweifachen Faltung war das kein Problem, bei fff(x) bin ich jedoch jetzt etwas verwirrt... Vielen lieben Dank schon einmal für jegliche Hilfe!
17.02.2016, 23:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann viele Buchstaben in dem Scan kaum lesen, aber ich versuche es ... Es ist per Definition $\begin{align} K(x) = (fff)(x) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(y) \chi_{(0,1)}(x-y) ~ \dd y = \int\limits_{x-1}^x h(y) ~ \dd y\qquad () \end{align}$ , soweit scheint dir ja alles noch klar zu sein. Für $\begin{align} x\in [0,1] \end{align}$ ist die untere Grenze $\begin{align} x-1<0 \end{align}$ in Integral (), es ist aber $\begin{align} h(y)=0 \end{align}$ für $\begin{align} y<0 \end{align}$ , also ist der Integralanteil $\begin{align} \int_{x-1}^0 h(y)~ \dd y =0 \end{align}$ und kann weggelassen werden, im Restintervall ist $\begin{align} h(y)=y \end{align}$ , die ersten beiden Kringel sollten damit klar sein. Für $\begin{align} x\in [1,2] \end{align}$ kann, ja muss man das Integrationsintervall $\begin{align} [x-1,x] \end{align}$ in die y-Bereiche <1 (also $\begin{align} [x-1,1] \end{align}$ ) und >1 (also $\begin{align} [1,x] \end{align}$ ) teilen, da wir da verschiedene Funktionsterme für $\begin{align} h(y) \end{align}$ haben. Das erklärt die nächsten vier Kringel. Für $\begin{align} x\in[2,3] \end{align}$ ist die obere Integralgrenze $\begin{align} x>2 \end{align}$ , es ist aber $\begin{align} h(y)=0 \end{align}$ für $\begin{align} y>2 \end{align}$ , also wird das Integral bei 2 gekappt (ähnlich wie es im ersten Fall unten bei 0 gekappt wurde). Das erklärt die letzten beiden Kringel. D.h., es resultiert alles mehr oder weniger aus der abschnittsweise vorliegenden Darstellung von $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ .
18.02.2016, 09:29	AnnaNatascha	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen lieben Dank, deine Erklärungen sind mir klar geworden! Jetzt habe ich aber doch noch eine Frage zu deinem definierten () Meine Faltungsformel sieht doch in der Regel so aus: $\begin{eqnarray} f(x)g(x)=\int_{0}^{x} \! f(y)g(x-y) \, dy \end{eqnarray}$ D.h. wenn ich meine berechnete Faltung einsetze: $\begin{eqnarray} (fff(x))=\int_{0}^{x} \! h(y)f(x-y) \, dy \end{eqnarray}$ So, und mein f(x-y) kann ich ja dann wie zuvor auch wieder umschreiben: $\begin{eqnarray} (fff(x))=\int_{0}^{x} \! h(y)1_{(0,1)}(x-y) \, dy \end{eqnarray}$ (Sry, hab das Zeichen für die Indikatorfunktion im Formeleditor nicht gefunden, deshalb hab ich es hier als 1 geschrieben, auch wenn es dann nicht konsistent ist) Und damit folgt: $\begin{eqnarray} (fff(x))=\int_{0}^{x} \! h(y)1_{(x-1,x)}(y) \, dy \end{eqnarray}$ So und die letzte Quintessenz zu deinem (*) fehlt mir jetzt irgendwie doch...hast du noch einen guten Tipp für mich? Vielen lieben Dank schon einmal!
18.02.2016, 11:06	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die allgemeine Faltungsformel ist zunächst $\begin{align} (fg)(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(y)g(x-y) ~ \dd y \end{align}$ $\begin{align} g=\chi_{(0,1)} \end{align}$ eingesetzt erhalten wir $\begin{align} (f\chi_{(0,1)})(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(y) \chi_{(0,1)}(x-y)~ \dd y = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(y) \chi_{(-x,-x+1)}(-y) ~ \dd y = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(y) \chi_{(x-1,x)}(y) ~ \dd y = \int\limits_{x-1}^x f(y) ~ \dd y \end{align}$ , weil außerhalb des Teilintervall $\begin{align} (x-1,x) \end{align}$ die Funktionswerte $\begin{align} \chi_{(x-1,x)}(y)=0 \end{align}$ vorliegen, und innerhalb $\begin{align} \chi_{(x-1,x)}(y)=1 \end{align}$ . Im ersten Fall verschwinden die Intervallanteile komplett aus dem Integral, im zweiten ist der Faktor 1 obsolet. Die Variante von dir $\begin{align} (fg)(x)=\int\limits_0^x f(y)g(x-y) ~ \dd y \end{align}$ setzt voraus, dass $\begin{align} f,g \end{align}$ nur auf der positiven reellen Achse definiert sind, m.a.W., dass $\begin{align} f(t)=g(t)=0 \end{align}$ für $\begin{align} t<0 \end{align}$ gilt - das wird in () nicht vorausgesetzt! Das einbezogen gelangt man zu $\begin{align} (f\chi_{(0,1)})(x)= \int\limits_{\max(x-1,0)}^x f(y) ~ \dd y \end{align}$ für alle $\begin{align} x\geq 0 \end{align}$ (der Fall $\begin{align} x<0 \end{align*}$ ist hier dann eh uninteressant).
18.02.2016, 11:13	AnnaNatascha	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, wenn man weiß dass die Faltungsformel von - unendlich bis unendlich definiert ist, dann macht die Umformumng Sinn...bei mir wäre ja sonst 0 anstatt x-1 als untere Grenze herausgekommen, das war mein eigentliches Problem! Ich danke dir vielmals für deine tolle Erklärung! Einen schönen Tag noch

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