Gleichungssystem lösen

18.02.2016, 03:28

J.Stevens

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Gleichungssystem lösen

Meine Frage:
Hallo,
wir sollen eine Allgemeine Lösung des homogenes Gleichungsysthemes berechnen.

Das ist das Gleichungsysthem was uns gegeben wurde
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} <br /> 1&3&-4&2x&2\\<br /> 2&5&-6&6&8 \\<br /> 3&13&-19&1&-8\\ <br /> 2&3&-1&13&18 \<br /> end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe die Zeilen so berechnet:
$\begin{eqnarray*} II = II - I*2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} III = III - I*3 ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} IV = IV - I*2 \end{eqnarray*}$

Und hatte dieses raus bekommen :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} <br /> 1&3&-4&2x&2\\<br /> 0&-1&2&2&4 \\<br /> 0&4&-7&-5&-14\\ <br /> 0&-3&7&9&14 \<br /> end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich die Zeilen so berechnet:
$\begin{eqnarray*} III = III + I*4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} IV = IV - II*3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} <br /> 1&3&-4&2x&2\\<br /> 0&-1&2&2&4\\<br /> 0&0&1&3&2\\ <br /> 0&0&1&3&2 \<br /> end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Als letztes habe ich das gemacht
$\begin{eqnarray*} IV = IV - III \end{eqnarray*}$

Und habe das Zwischenergebnis raus.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} <br /> 1&3&-4&2x&2\\<br /> 0&-1&2&2&4 \\<br /> 0&0&1&3&2\\ <br /> &0&0&0&0 \<br /> end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das ganze auflöse bekomme ich folgendes:
$\begin{eqnarray*} X3 = 2-3x_4<br /> X2 = -4x_4<br /> X1 = 10 + 22x_4 \end{eqnarray*}$

Und das ist die vorgegebene Lösung:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 10\\ 0 \\2 \\0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -3\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie komme ich auf die Lösung ?
Kann mir jemand helfen ?

Vielen Dank im Voraus !

* Ach ja ich habe vergessen:
zwischen der 4 und 5 Spalte muss ein Trennstrich hin.. wie beim LGS halt werde beim Antworten versuchen drauf zu achten.

Meine Ideen:
Irgendwas mit X1 scheint nicht zu stimmen.
Ich glaube es ist ein Vorzeichenfehler .

18.02.2016, 04:35

Dopap

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du schon wieder Augenzwinkern

Augenzwinkern

meld dich doch mal an!

also, das mit Strich hat dir doch Klarsoweit schon gezeigt:

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \rm d \\a_{21} & a_{22} &a_{23} & \rm k \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \rm p \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

code:
1: 2:	[latex]\left(\begin{array}{ccc\|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \rm d \\a_{21} & a_{22} &a_{23} & \rm k \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \rm p \end{array}\right)[/latex]

1.) wenn der Strich gelten soll, dann ist das ein inhomogenes LGS ! ein homogenes System hätte nur Nullen nach dem Strich oder keinen Strich .

2.) da schwirrt noch ein x herum. Korrigiere das oder soll das ein Parameter sein ?

19.02.2016, 12:11

rudizet

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RE: Gleichungssythem lösen
Hallo J.Stevens,
wenn die gegebene erweiterte Matrix so aussieht:
$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & -4 & 2 & \rm 2 \\ 2 & 5 & -6 & 6 & \rm 8 \\ 3 & 13 & -19 & 1 & \rm -8 \\ 2 & 3 & -1 & 13 & \rm 18 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ , dann hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen und der Parameter $\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$ ist frei wählbar, siehe vorgegebene Lösung.
Gruß von rudizet

22.02.2016, 04:43

J.Stevens

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RE: Gleichungssythem lösen
Ich bin mittlerweile fast auf die vorgegebene Lösung gekommen.

$\begin{eqnarray*} <br /> \vec{x} = \begin{pmatrix} 10\\ 0 \\2 \\ 0\end{pmatrix}+ t \begin{pmatrix} 22 \\ -4 \\ -3\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die 22 ist falsch oben rechts. Da muss -2 stehen
ich habe es schon 1000 mal durchgerechnet und kriege das einfach nicht hin..

hier ist nochmal der Rechenweg:

$\begin{eqnarray*} X_1 + 3X_2 - 4X_3 + 2X_4 = 2<br /> X_1 + 3(-4X_4 ) - 4(2-3X_4 ) + 2X_4 = 2 <br /> X_1 +(-12X_4) - 8-12x_4 + 2X_4 = 2 <br /> X_1 - 24X_4 - 8 +12X_4 = 2 |+ 8<br /> X_1 - 24X_4 +2 X_4 = 2 |+ 22X_4 <br /> X1 = 10 + 22X_4 \end{eqnarray*}$

22.02.2016, 10:16

klarsoweit

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RE: Gleichungssythem lösen

Zitat:

Original von J.Stevens
$\begin{eqnarray*} X_1 + 3(-4X_4 ) - 4(2-3X_4 ) + 2X_4 = 2 <br /> X_1 +(-12X_4) - 8-12x_4 + 2X_4 = 2 <br /> \end{eqnarray*}$

Rechne hier nochmal den Schritt von der oberen zur unteren Zeile nach. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Unterm Strich würde ich allerdings eher das Gauß-Verfahren bevorzugen. Das hat in meinen Augen ein deutlich geringeres Fehlerpotential. smile

smile

22.02.2016, 21:23

Dopap

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RE: Gleichungssythem lösen
$\begin{eqnarray*} <br /> \vec{x} = \begin{pmatrix} 10\\ 0 \\2 \\ 0\end{pmatrix}+ t \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -3\\1 \end{pmatrix} \quad t\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ [/quote]

ist eine mögliche Lösung.

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25.02.2016, 00:24

J.Stevens

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RE: Gleichungssythem lösen
Danke ich habe es jetzt :-)
Klarsoweit meinst du Gaußverfahren so in etw ?

\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & -4 & 2 & \rm 2 \\ 1 & -12 & 12 & 2 & \rm 10 \\ 1 &0 & 0 & 2 & \rm 10 \end{array}\right)

25.02.2016, 00:27

J.Stevens

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RE: Gleichungssythem lösen
*
$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & -4 & 2 & \rm 2 \\ 1 & -12 & 12 & 2 & \rm 10 \\ 1 &0 & 0 & 2 & \rm 10 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

25.02.2016, 01:47

Dopap

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RE: Gleichungssythem lösen
ich weiß nicht was du bisher getan hast. Und Stufenform ist ja noch nicht erreicht.
Die Lösungsmenge dieses System (*) ist

$\begin{eqnarray*} <br /> \vec{x} = \begin{pmatrix} 10\\ 8 \\ 8\\ 0\end{pmatrix}+ t \begin{pmatrix} -2 \\ 0\\ 0\\1 \end{pmatrix} \quad t\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

also stimmt was nicht.

25.02.2016, 15:27

J.Stevens

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RE: Gleichungssythem lösen
Danke die Lösung habe ich ja jetzt.
Hier ist noch eine Aufgabe wo ich wieder ein Fehler nicht finde.
Es ist ein Vorzeichenfehler.

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 2 & 0 & \rm 4\\ -1 & -1 & 2 & \rm -2 \\ 1 &0 & 0 & \rm 2 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Ich habe die Zeilen so berechnet:
$\begin{eqnarray*} II= (II*2 ) - I \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} III=(III *2) + I \end{eqnarray*}$

Und hatte dieses raus bekommen
$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|c}<br /> -2 & 2 & 0 &\rm 4 \\<br /> 0 & -4 & 4 &\rm -8\\ <br /> 0 & 4 & -2 &\rm 4 \<br /> end{array} \right) \end{eqnarray*}$

Dann habe ich das gemacht
$\begin{eqnarray*} III=III+II* \end{eqnarray*}$

Und habe das Zwischenergebnis raus.
$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|c} <br /> -2 & 2 & 0 &\rm 4 \\<br /> 0 & -4 & 4 &\rm -8\\ <br /> 0 & 0 & 2 &\rm - 4 \<br /> \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Als Endlösung habe ich das raus :
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\-2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und das ist die Lösung die uns vorgegeben wurde:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\-2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier habe ich ebenfalls mehrmals Kontroliert.
Den Fehler kann ich einfach nicht finden.

* Es ist auch ein Gleichungssystem den Strich zwischen der dritten und der vierten Spalte hat das Programm verweigert mir zu machen. Nachdem ich die Werte und Spalten verändert habe.

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

25.02.2016, 17:19

Dopap

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RE: Gleichungssythem lösen

code:
1: 2:	[latex]\left(\begin{array}{cccc\|c} -2 & 2 & 0 & \rm 4\\ -1 & -1 & 2 & \rm -2 \\ 1 &0 & 0 & \rm 2 \end{array}\right)[/latex]

hier solltest du {ccc|c} = 3 mal centriert, Strich, centriert verwenden.

code:
1: 2:	latex] II= (II2 ) - I[/latex] [latex] III=(III 2) + I[/latex]

benütze die Vorschau-Funktion !!! und verwende \cdot für den Malpunkt.

code:
1:	[latex]-2 & 2 & 0 &\rm 4 \\ [/latex]

\rm steht für Schrifttypt "Roman", ist bei Zahlen unnötig.

Zitat:

Dann habe ich das gemacht
$\begin{eqnarray*} III=III+II* \end{eqnarray*}$

was soll der * (Stern) bedeuten ?

Zitat:

Als Endlösung habe ich das raus :

dieses Wort würde ich nicht verwenden.

25.02.2016, 21:03

J Stevens

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RE: Gleichungssythem lösen
* ein Fehler

$\begin{eqnarray*} III=III+II \end{eqnarray*}$
muss es heißen.

26.02.2016, 08:51

klarsoweit

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RE: Gleichungssythem lösen

Zitat:

Original von J.Stevens
$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 2 & 0 & \rm 4\\ -1 & -1 & 2 & \rm -2 \\ 1 &0 & 0 & \rm 2 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Ich habe die Zeilen so berechnet:
$\begin{eqnarray*} II= (II*2 ) - I \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} III=(III *2) + I \end{eqnarray*}$

Da hätte ich eher erst mal die 1. und 3. Zeile vertauscht. Das rechnet sich doch dann viel einfacher. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von J.Stevens
Und hatte dieses raus bekommen
$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|c}<br /> -2 & 2 & 0 &\rm 4 \\<br /> 0 & -4 & 4 &\rm -8\\ <br /> 0 & 4 & -2 &\rm 4 \<br /> end{array} \right) \end{eqnarray*}$

Da hast du aber bei der Berechnung der 3. Zeile einen gewaltigen Bock geschossen. Big Laugh

Big Laugh

26.02.2016, 19:00

J Stevens

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RE: Gleichungssythem lösen
Ich habe es so gerechnet:

$\begin{eqnarray*} III = III + II : \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} III => 0. 4. -2 4. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II => 0. -4. 4. -8. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} III = 0. 0. 4. -4. \end{eqnarray*}$

26.02.2016, 19:05

J Stevens

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RE: Gleichungssythem lösen
Sorry Tippfehler :

$\begin{eqnarray*} III = III + II : \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} III =>+ 0. +4. -2 +4. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II => +0. -4. +4. -8. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} III = +0. +0. +2. -4. \end{eqnarray*}$

29.02.2016, 09:02

klarsoweit

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RE: Gleichungssythem lösen

Zitat:

Original von J Stevens
Ich habe es so gerechnet:

$\begin{eqnarray*} III = III + II : \end{eqnarray*}$

Das ist ja ganz nett, aber vorher hast du dieses gemacht:

Zitat:

Original von J.Stevens
$\begin{eqnarray*} III=(III *2) + I \end{eqnarray*}$

und das ist falsch gelaufen.

29.02.2016, 15:27

J Stevens

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RE: Gleichungssythem lösen
Was ist denn Falsch gelaufen ?

ich habe da doch die beiden Nullen gebildet ?

Gruß Joachim

29.02.2016, 15:34

klarsoweit

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RE: Gleichungssythem lösen

Zitat:

Original von J.Stevens
$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 2 & 0 & \rm 4\\ -1 & -1 & 2 & \rm -2 \\ 1 &0 & 0 & \rm 2 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Ich habe die Zeilen so berechnet:
$\begin{eqnarray*} II= (II*2 ) - I \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} III=(III *2) + I \end{eqnarray*}$

Und hatte dieses raus bekommen
$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|c}<br /> -2 & 2 & 0 &\rm 4 \\<br /> 0 & -4 & 4 &\rm -8\\ <br /> 0 & 4 & -2 &\rm 4 \<br /> end{array} \right) \end{eqnarray*}$

Erst mal verdoppeln wir die 3. Zeile. Das ergibt:

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 2 & 0 & \rm 4 \\ -1 & -1 & 2 & \rm -2 \\ 2 & 0 & 0 & \rm 4 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Jetzt addiere ich die 1. Zeile zur 3. Zeile:

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 2 & 0 & \rm 4 \\ -1 & -1 & 2 & \rm -2 \\ 0 & 2 & 0 & \rm 8 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Und in der 3. Zeile der Matrix steht offensichtlich nicht das, was du rausbekommen hast.

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