Geometrisches Problem

25.08.2004, 17:54	Gustav	Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrisches Problem In einem Buch mit dem Titel "Mathematische Rätsel für Denksportler" habe ich folgende Aufgabe gefunden. Dummerweise habe ich den zweiten Band, der die Lösungen enthält, nicht mehr. Vielleicht könnt ihr mir bei der Lösung dieser Aufgabe helfen: Gegeben sei ein regelmäßiges n-Eck mit dem Umkreisradius 1. L sei die Menge der (verschiedenen) Längen aller Verbindungstrecken seiner Endpunkte. Wie groß ist die Summe der Quadrate der Elemente von L? Lösungsansatz: d(x,y) sei eine Funktion die den Abstand zweier Eckpunkte angebe. Für jeden Eckpunkt gibt es n/2 verschiedene Längen von Verbindungsstrecken. Also ist L = {d(1,1),d(1,2)...d(2,1),d(2,2).....d(n,1),d(n,2)...d(n,n/2)} Ist das so richtig? Wie mache ich jetzt weiter? Gruß, Gustav
25.08.2004, 18:10	kurellajunior	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geometrisches Problem Hi Gustav, nö ist schon mal nicht richtig. Der Ansatz ist gut, aber entscheidend ist hier die Menge der verschiedenen Längen! Also für $\begin{eqnarray} n=4 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} L=\left\{ \sqrt{2}; 2\right\} \end{eqnarray}$ Sehne und Durchmesser. Für $\begin{eqnarray} n=6 \end{eqnarray}$ gibt es drei: $\begin{eqnarray} L=\left\{1; \sqrt{2}; 2\right\} \end{eqnarray}$ Sehne direkt, Sehne zum zweiten Punkt und Durchmesser. Für 3 und 5 kannst Du ja mal selber überlegen. Für 3 hat L 1 Element, für 5 hat L 2 Elemente. Dann mal die Quadrate bilden und gucken. Wenn Du nicht weiterkommst alles posten und dann gucken wir auch Jan edit von Mathespezialschüler: latex-code verbessert edit von mir: Latex code nochmal angefasst.
26.08.2004, 21:19	Gustav	Auf diesen Beitrag antworten »
Für n = 3 ist $\begin{eqnarray} L = \{ \sqrt{3} \} \end{eqnarray}$ Für n = 5 ist $\begin{eqnarray} L = \{ \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10 - 2\sqrt{5}} , \frac{1+\sqrt{5}}{2} \} \end{eqnarray}$ S sei die Summe der Quadrate der Elemente von L. Für n = 3 ist S = 3 Für n = 4 ist S = 2 + 4 = 6 Für n = 5 ist $\begin{eqnarray} S = \frac {1}{4} \cdot (10 - 2 \cdot \sqrt{5} + 1 + 2 \cdot \sqrt{5} + 5) = 4 \end{eqnarray}$ Für n = 6 ist S = 1 + 2 + 4 = 7 Ich erkenne da keinen Zusammenhang für ein allgemeines n. :-(
27.08.2004, 00:18	Bruce	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Gustav, ich habe noch ein paar Informationen für dich! Für den Abstandes d zwischen zwei Punkten auf dem Einheitskreis, deren Ortsvektoren den Winkel alpha einschließen, gilt: $\begin{eqnarray} d^{\,2}=(2\sin\frac{\alpha}{2})^2=2(1-\cos\alpha). \end{eqnarray}$ Außerdem gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n}\cos(k\alpha)=\frac{\sin(\frac{n}{2}\alpha)\,\cos(\frac{n+1}{2}\alpha)}{\sin\frac{\alpha}{2}}. \end{eqnarray}$ Du kannst ja mal versuchen, das Ergebnis damit zu berechnen. Gruß von Bruce.

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