Gestauchte Cosinus Funktion

18.02.2016, 16:05	Hauke Schäffer	Auf diesen Beitrag antworten »
Gestauchte Cosinus Funktion Meine Frage: Hallo zusammen! Im letzten Semester wurde eine Klausuraufgabe gestellt, die ich nicht korrekt lösen konnte. Die Aufgabe spuckt mir mittlerweile wieder im Kopf herum, obwohl ich Sie nach der Klausureinsicht verstanden hatte (was mittlerweile nicht mehr der Fall ist). Daher frage ich mal hier. :-) Also, zur eigentlichen Aufgabe: Gesucht waren vier Winkel, welche die gleich folgende Funktionsgleichung erfüllen; eingeschränkt ist war die Funktion auf das Intervall $\begin{eqnarray} [0,2\pi ) \end{eqnarray}$ Nun zur eigentlichen Gleichung. Jene sah folgendermaßen aus: $\begin{eqnarray} 1-cos(2\cdot \alpha )=0 \end{eqnarray}$ Wie ja aus dem Funktionsgraphen bereits ersichtlich, ist der Graph hinsichtlich der x-Achse gestaucht; die Frequenz innerhalb des Einheitskreises ist der Gleichung zufolge exakt doppelt so groß wie normal, sprich jeder Funktionswert wird doppelt so schnell erreicht. Daher meine Frage: könnt ihr mir weiterhelfen? Meine Ideen: Meine Idee war es (nach Betrachten des Einheitskreises) die Gleichung, sowie das Intervall zur Winkelbestimmung (als Zwischenschritt!) anzupassen. Das heißt soviel wie: doppeltes Intervall, halbe Frequenz. Was ich an dieser Stelle im Hinterkopf habe ist, dass der Cosinus 2 $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ periodisch ist, sprich nur bei 0 bzw $\begin{eqnarray} 0 +k\cdot 2\pi (k Element Z) \end{eqnarray}$ den Wert 1 erreicht, sodass die Gleichung 1-1=0 (wahr) erfüllt wird. Durch die Verdopplung des Intervalls würde ich (so glaube ich) immerhin die erste Hürde (2 $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ nicht im Intervall [0,2 $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ ) enthalten) umgehen. Zuletzt würde ich das Intervall und die Gleichung wieder so anpassen, dass die Ausgangssituation erreicht ist - mit dem Wissen, dass alle in dem "neuen" Intervall liegenden Winkel auch für das ursprüngliche Intervall gelten, sofern sie mit dem Faktor $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ multipliziert werden (zwecks Halbieren der mittlerweile doppelten Frequenz). Meine Ergebnisse wären damit jedoch... 1.) nur drei Winkel, nämlich $\begin{eqnarray} 0\cdot\pi , \pi, 2\cdot\pi \end{eqnarray}$ , 2.) $\begin{eqnarray} 2\cdot\pi \end{eqnarray}$ liegt nicht mehr im gesuchten Intervall.
18.02.2016, 16:32	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gestauchte Cosinus Funktion Deine Ergebnisse sind korrekt. Im angegebenen Intervall erfüllen nur die zwei Winkel $\begin{align} 0 \end{align}$ und $\begin{align} \pi \end{align}$ die Gleichung: Viele Grüße Steffen
18.02.2016, 18:57	Hauke Schäffer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gestauchte Cosinus Funktion Alles klar, danke dir für deine schnelle Antwort. Nur eine Frage zu dem von dir geposteten Funktionsgraphen: wieso setzt dieser im Ursprung des KOS an? Im Regelfall beginnt der Graph des Cosinus für den Winkel $\begin{eqnarray} 0\cdot\pi \end{eqnarray}$ doch beim Wert +1 auf der y-Achse und setzt sich $\begin{eqnarray} 2\cdot\pi \end{eqnarray}$ -periodisch fort?
18.02.2016, 19:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Was Steffen geplottet hat, ist nicht $\begin{align} \cos(x) \end{align}$ , sondern $\begin{align} 1-\cos(2x) \end{align}$ . Und die kleinste Periode dieser Funktion ist nicht $\begin{align} 2\pi \end{align}$ wie beim Kosinus, sondern nur $\begin{align} \pi \end{align}$ .

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