Extrema von einer Funktion mit zwei Variablen bestimmen in einem beschränkten Gebiet

18.02.2016, 16:07	Ligi	Auf diesen Beitrag antworten »
Extrema von einer Funktion mit zwei Variablen bestimmen in einem beschränkten Gebiet Meine Frage: Hallo zusammen Ich bin am Serien lösen und stiess auf folgendes Problem: Aufgabe: Bestimme die (globalen) Extrema der Funktion $\begin{eqnarray} <br /> g(x,y) = 3y^{2} - 1 - 2x^{2} <br /> \end{eqnarray}$ im Bereich $\begin{eqnarray} <br /> B = \left\{(x,y) \in \mathbb R \| x^{2} + y^{2} \leq 4\right\} <br /> \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Der Gradient abgeleitet gibt die Punkte (0,0) und g(x,y) = -1 Ich untersuche die Randpunkte: g(-2,0) = -9 und g(2,0) = -9 Nun untersuche ich noch den Rand, also den Kreis. Ich habe dabei nach y umgestellt und $\begin{eqnarray} y = \sqrt{4 - x^{2}} \end{eqnarray}$ bekommen. Setze ich dies nun in die Funktion ein bekomme ich $\begin{eqnarray} g(x, \sqrt{4 - x^{2}}), x = \sqrt{\frac{11}{5}}, y = \frac{3}{\sqrt{5}} \end{eqnarray}$ . Diese Lösung ist falsch. Laut Musterlösung wird anders parametrisiert, und zwar mit Sinus und Cosinus. Mir ist bewusst, dass dies auch möglich ist und es ist mir auch nicht fremd. Mir ist jedoch nicht klar, warum mein Weg eine falsche Lösung ergibt. Denn meine Parameterdarstellung repräsentiert doch ebenfalls einen Kreis... Richtige Lösung: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> r(t) = (2cos(t), 2sin(t))<br /> <br /> g(r(t)) = 12sin^{2}(t) - 1 - 8cos^{2}(t) = 20sin^{2}(t) - 9<br /> <br /> \frac{d}{dt} = 40sintcost = 20sin(2t) = 0<br /> <br /> t \in \left\{ 0, \frac{\pi }{2}, \pi, \frac{3\pi }{2}\right\} <br /> <br /> \end{eqnarray}$ und somit die neuen zwei Punkte (0,2) und (0,-2), welche in g(x,y) eingesetzt 11 ergeben und somit die Extremalpunkte sind. Hoffe mir kann jemand weiterhelfen. Viele Dank schonmal für den Aufwand und freundliche Grüsse Ligi
19.02.2016, 09:45	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extrema von einer Funktion mit zwei Variablen bestimmen in einem beschränkten Gebiet Mit deiner Parametrisierung erreichst du nur den oberen Halbkreis. Aber verwenden kannst du sie trotzdem. Wenn ich es recht sehe, hast du die Nullstellen der Funktion gesucht statt Nullstellen der Ableitung.
22.02.2016, 15:02	Ligi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist mir im nachhinein auch aufgefallen, ist ja leicht zu korrigieren. Danke jedenfalls, schon klar bekomme ich eine falsche Lösung... Frage beantwortet.

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