Stochastik (Zufallsgrößen)

19.02.2016, 11:02

kiko957

Stochastik (Zufallsgrößen)

Meine Frage:
Bestimmen sie die Verteilung der Zufallsgröße X
X: Augensumme beim dreifachen Würfeln
X: Maximum der Augenzahlen beim Wurf von 2 Würfeln (höhere Zahl)
X: Produkt der Augenzahlen beim 2 fachen Wurf

Meine Ideen:
Ich habe leider keine eigenen Ideen komme mit dem Thema gar nicht voran

19.02.2016, 11:45

HAL 9000

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Zuerst mal solltest du dir darüber im klaren sein, was mit "Verteilung der Zufallsgröße $\begin{align*} X \end{align*}$ " da jeweils gemeint ist, d.h., welche Form der Lösung von dir hier verlangt wird.

Bei diskreten Zufallsgrößen wie hier ist das gewöhnlich die Angabe der Einzelwahrscheinlichkeiten $\begin{align*} P(X=k) \end{align*}$ für alle in Frage kommenden Werte $\begin{align*} k \end{align*}$ , d.h., die die Zufallsgröße im konkreten Fall überhaupt nur annehmen kann. Listen wir mal auf, welche Werte $\begin{align*} k \end{align*}$ dies bei den drei Teilaufgaben jeweils betrifft:

a) $\begin{align*} k=3,\ldots,18 \end{align*}$

b) $\begin{align*} k=1,\ldots,6 \end{align*}$

c) $\begin{align*} 1\leq k\leq 36 \end{align*}$ , aber da nicht alle Werte (nur die, die eben Produkt von zwei Zahlen 1..6 sind)

Zur konkreten Berechnung:

a) siehe z.B. hier, es gibt aber auch unzählige andere Threads zu genau diesem Thema (Suchen: "Würfelsumme" o.ä.)

b) Hier für $\begin{align*} X=\max\{X_1,X_2\} \end{align*}$ lohnt es sich zunächst, über

$\begin{align*} P(X\leq k) = P(\max\{X_1,X_2\}\leq k) \stackrel{!}{=} P(X_1\leq k, X_2\leq k) \end{align*}$

nachzudenken. Hat man erst $\begin{align*} P(X\leq k) \end{align*}$ , dann hat man auch $\begin{align*} P(X=k) = P(X\leq k) - P(X\leq k-1) \end{align*}$ .

c) Hier hilft eigentlich nicht viel anderes als pure händische Fleißarbeit: Für jedes mögliche Produkt $\begin{align*} k \end{align*}$ summiert man über alle Wahrscheinlichkeiten $\begin{align*} P(X_1=k_1,X_2=k_2) \end{align*}$ mit der Eigenschaft $\begin{align*} k_1\cdot k_2=k \end{align*}$ . Man kann diese Rechnung z.B. einfach über die simple Multiplikationstabelle organisieren:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8:	\| 1 2 3 4 5 6 --+------------------ 1 \| 1 2 3 4 5 6 2 \| 2 4 6 8 10 12 3 \| 3 6 9 12 15 18 4 \| 4 8 12 16 20 24 5 \| 5 10 15 20 25 30 6 \| 6 12 18 24 30 36

Für jeden möglichen Produktwert $\begin{align*} k \end{align*}$ zählt man, wie oft er in den 6*6=36 Werten der Tabelle auftritt, und diese Anzahl geteilt durch 36 ist dann die Wahrscheinlichkeit $\begin{align*} P(X=k) \end{align*}$ .

Das ist jetzt vielleicht ein bisschen zuviel Information für den Start - fangen wir mit der Teilaufgabe a),b) oder c) an, wo du am ehesten starten möchtest.

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