Beweis dass monotone Funktion Borel-messbar ist

19.02.2016, 12:59

AnnaNatascha

Beweis dass monotone Funktion Borel-messbar ist

Meine Frage:
Hallo zusammen ;-)

Momentan sitze ich gerade an dem Beweis, dass ich zeigen will dass f Borel-messbar ist, wobei f eine monotone Funktion von den reellen in die reellen Zahlen ist.

Meine Ideen:
In der Vorlesung wurde folgende Definiton gegeben:
$\begin{eqnarray*} f: X \rightarrow \mathbb R Borel-messbar \Longleftrightarrow \forall a \in \mathbb R : \left\{ f\geq a\right\} := f^{-1} ([a,\infty ]) \in Borelmenge \end{eqnarray*}$

Ich bin jetzt wie folgt vorgegangen:
1. Fall: für alle x in den reellen Zahlen gilt dass f(x) kleiner ist als a und daraus folgt dass $\begin{eqnarray*} \left\{ f\geq a\right\} =\emptyset \end{eqnarray*}$ und meine leere Menge ist in der Borelmenge da es sich ja um eien Sigma-Algebra handelt.

2. Fall: für alle x in den reellen Zahlen gilt dass f(x) größer gleich a ist und daraus folgt dass $\begin{eqnarray*} \left\{ f\geq a\right\} =\mathbb R \end{eqnarray*}$ und die reellen zaheln sind wieder in der Borelmenge da es sich bei der Borelmenge um eine Sigma-Algebra handelt.

3. Fall: Jetzt muss ich doch noch untersuchen, dass $\begin{eqnarray*} \left\{ f\geq a\right\} \end{eqnarray*}$ weder Element der leeren Menge noch der reellen Zaheln ist...
Wie gehe ich hier vor? Irgendjemand hatte sich hier ein Infimum definiert...
Hat jemand eine Idee wie ich schnell und einfach auch den dritten Fall abhandeln kann?

Vielen lieben Dank schon einmal an alle!

19.02.2016, 13:36

HAL 9000

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Du schreibst "monoton", das steht für monoton wachsend oder monoton fallend - betrachten wir zunächst den ersten Fall, also "monoton wachsend".

Zeige, dass es für $\begin{align*} \{f\geq a\} \end{align*}$ aufgrund dieser Monotonie nur die Möglichkeiten $\begin{align*} \emptyset \end{align*}$ , $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ , $\begin{align*} [b,\infty) \end{align*}$ sowie $\begin{align*} (b,\infty) \end{align*}$ mit einem geeignet gewählten $\begin{align*} b\in \mathbb{R} \end{align*}$ gibt.

Die ersten beiden Fälle hast du ja schon betrachtet, fehlt der Nachweis, dass in deinem letzten Fall nur $\begin{align*} [b,\infty) \end{align*}$ oder $\begin{align*} (b,\infty) \end{align*}$ möglich sind.

19.02.2016, 13:45

AnnaNatascha

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genau, im Prinzip ist es ja in sofern egal ob wachsend oder fallend, weil ich kann das ja für wachsend zeigen und dann hinschreiben für fallend genauso, außer dass man eben -f betrachtet...

Im letzten Fall sind nur $\begin{eqnarray*} [b,\infty ) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (b,\infty ) \end{eqnarray*}$ möglich, ja...wie gehe ich das an, über eine Infimumdefinition $\begin{eqnarray*} xb:= inf\left\{ x\in \mathbb R { | f(x) \geq a}\right\} \end{eqnarray*}$ ?
Sry, stehe gerade ein wenig auf der Leitung...der Fall bereitet mir etwas Bauchschmerzen...

19.02.2016, 13:55

HAL 9000

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Genau, es ist nämlich $\begin{align*} b:=\inf \{f\geq a\} \end{align*}$ . Nun sind zwei Fälle denkbar:

1.Fall: $\begin{align*} b\in \{f\geq a\} \end{align*}$ :

Wegen der Monotonie ist dann $\begin{align*} f(x)\geq f(b)\geq a \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x\geq b \end{align*}$ , und andererseits aber $\begin{align*} f(x)<a \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x<b \end{align*}$ wegen der Infimumdefinition von $\begin{align*} b \end{align*}$ . Damit ist hier $\begin{align*} \{f\geq a\} = [b,\infty) \end{align*}$ .

2.Fall: $\begin{align*} b\not\in \{f\geq a\} \end{align*}$ : ...

19.02.2016, 14:07

AnnaNatascha

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Super danke, der letztere ist ja dann äquivalent....
Dankeschön! Wink

19.02.2016, 14:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von AnnaNatascha
der letztere ist ja dann äquivalent....

Naja, es gibt schon Besonderheiten im Detail, wenn das Infimum nicht selbst in der Menge liegt.

19.02.2016, 15:16

AnnaNatascha

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Ich habs gemerkt...
Habe mich gerade daran versucht, aber irgendwie komme ich nicht weiter...also mein Infimum liegt jetzt nicht in {f größer gleich a} und es soll herauskommen dass {f größer gleich a} = (b, unendlich)...

Sry, da war ich wohl etwas voreinlig...ich bekomme es einfach nicht hin ;-(

19.02.2016, 15:50

HAL 9000

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Na irgendwie so:

$\begin{align*} b\not\in\{f\geq a\} \end{align*}$ bedeutet $\begin{align*} f(b)<a \end{align*}$ . Aufgrund der Monotonie ist dann auch $\begin{align*} f(x)\leq f(b)<a \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x\leq b \end{align*}$ , d.h. $\begin{align*} x\not\in\{f\geq a\} \end{align*}$ für diese $\begin{align*} x \end{align*}$ .

Und die andere Seite: Ist $\begin{align*} x>b \end{align*}$ so gibt es mit $\begin{align*} \varepsilon:=x-b>0 \end{align*}$ aufgrund der Infimumdefinition ein $\begin{align*} x' \end{align*}$ mit $\begin{align*} b<x'<b+\varepsilon \end{align*}$ und $\begin{align*} x'\in\{f\geq a\} \end{align*}$ , was ja $\begin{align*} f(x')\geq a \end{align*}$ bedeutet, wegen $\begin{align*} x>x' \end{align*}$ mit Monotonie dann auch $\begin{align*} f(x)\geq a \end{align*}$ .

Beides zusammen ergibt $\begin{align*} \{f\geq a\} = (b,\infty) \end{align*}$ .

P.S.: Zu bemerken ist, dass im Fall stetiger $\begin{align*} f \end{align*}$ dieser letzte Fall $\begin{align*} \{f\geq a\} = (b,\infty) \end{align*}$ nicht eintreten kann. Für unstetige $\begin{align*} f \end{align*}$ , also mit "Sprüngen" hingegen schon. Augenzwinkern

19.02.2016, 16:15

AnnaNatascha

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Super, vielen lieben Dank, ich kanns nachvollziehen smile

Das Problem in diesem Fall ist mal wieder das aufschreiben...dabei bekommt mein Hirn irgendwie immer Knoten und ich bekomme das nie so zu Papier wie es eigentlich sein sollte unglücklich

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