Reihenkonvergenz

19.02.2016, 19:01

amateurphysiker_

Reihenkonvergenz

Ich hab hier nochmal ein kleines "Umformungsproblem", is mir ein Rätsel wie das von (i) auf (ii) gehen soll, überseh ich irgendwas oder ist das ein Fehler?

19.02.2016, 19:07

klauss

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Reihenkonvergenz
Müßte eigentlich $\begin{eqnarray*} \frac{2}{p} \end{eqnarray*}$ heißen, das Ergebnis bleibt gleich.

19.02.2016, 22:38

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau genommen müsste es $\begin{align*} \frac{2}{2p} \end{align*}$ heißen: Für ungerade $\begin{align*} p \end{align*}$ ist in der ersten Summe der Summand $\begin{align*} 0 \end{align*}$ , für gerade $\begin{align*} p \end{align*}$ hingegen $\begin{align*} \frac{2}{p} \end{align*}$ . Die "Umindizierung" $\begin{align*} p\to 2p \end{align*}$ ergibt dann jenes $\begin{align*} \frac{2}{2p} = \frac{1}{p} \end{align*}$ .

Aber wie schon erwähnt: Es ändert nichts an der Dívergenz.

21.02.2016, 11:21

amateurphysiker_

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke fuer eure Antworten!

Ich verstehe leider immer noch nicht wie (i) und (ii) das gleiche sein können. Für p=3 ergibt sich doch in (i) z.b. das Summenglied 0 und in (ii) dagegen 1/6 oder nicht? Damit ist die Summe (ii) doch in jedem Fall groesser als die Summe (i)?

21.02.2016, 13:21

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Entweder hast du meinen Beitrag nicht gelesen oder nicht verstanden:

Zitat:

Original von HAL 9000
Für ungerade $\begin{align*} p \end{align*}$ ist in der ersten Summe der Summand $\begin{align*} 0 \end{align*}$ , für gerade $\begin{align*} p \end{align*}$ hingegen $\begin{align*} \frac{2}{p} \end{align*}$ . Die "Umindizierung" $\begin{align*} p\to 2p \end{align*}$ ergibt dann jenes $\begin{align*} \frac{2}{2p} = \frac{1}{p} \end{align*}$ .

D.h., links steht

$\begin{align*} \sum_{p=1}^{\infty} \frac{1+(-1)^n}{p} = \frac{0}{1} + \frac{2}{2} + \frac{0}{3} + \frac{2}{4} + \frac{0}{5} + \frac{2}{6} + \ldots = 0 + \frac{1}{1} + 0 + \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{3} + \ldots \end{align*}$ .

Und nach der von mir beschriebenen Umformung:

$\begin{align*} \sum_{p=1}^{\infty} \frac{1}{p} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots \end{align*}$ .

Und man sollte sich hüten, beim Vergleich zweier bestimmt gegen $\begin{align*} \infty \end{align*}$ divergenter Reihen von "größer als" zu sprechen...

21.02.2016, 17:35

amateurphysiker_

Auf diesen Beitrag antworten »

Letzeres

Ok jetzt hab ichs verstanden, danke!!

Neue Frage »

Antworten »

Reihenkonvergenz

Verwandte Themen