Bestimmen der Fourier Koeffizienten

20.02.2016, 11:35

Silentg

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Bestimmen der Fourier Koeffizienten

Hallo zusammen,

Ich habe folgende Rechteckfunktion für die ich die Fourier Koeffizienten bestimmen soll.

$\begin{eqnarray*} x_{p}\left(t\right)= 1 falls | t | <\frac{T_{0} }{4}<br /> , 0 sonst \end{eqnarray*}$

Die Koeffizienten berechne ich dabei so:

$\begin{eqnarray*} c_{k} = \frac{1}{T_{0}}\int_{\frac{-T_{0} }{2} }^{\frac{T_{0} }{2} } \! x_{p}(t)e^{-2\pi if_{0}kt } \, dt = \frac{1}{T_{0}}\int_{\frac{-T_{0} }{4} }^{\frac{T_{0} }{4} } \! x_{p}(t)e^{-2\pi if_{0}kt } \, dt = \frac{-1}{T_{0}2\pi if_{0}k }\left[e^{-2\pi if_{0}kt }\right]_{\frac{-T_{0} }{4} }^{\frac{T_{0} }{4} } \end{eqnarray*}$

jetzt würde ich für $\begin{eqnarray*} f_{0}=\frac{1}{T_{0} } \end{eqnarray*}$ einsetzten und müsste
$\begin{eqnarray*} = \frac{-1}{2\pi ik }\left[e^{-2\pi\frac{1}{T_{0} } ikt }\right]_{\frac{-T_{0} }{4} }^{\frac{T_{0} }{4} }\Rightarrow = \frac{-1}{2\pi ik }\left(e^{\frac{i\pi k}{2} }-e^{\frac{-i\pi k}{2} } \right) \end{eqnarray*}$ herausbekommen.

Schreibe ich das nun um erhalte ich: $\begin{eqnarray*} = \frac{-1}{2\pi ik }\left\{\cos(\frac{\pi k}{2} ) -i\sin(x)\left(\frac{\pi k}{2} \right)-\cos(\frac{\pi k}{2} )-i\sin(\frac{\pi k}{2} ) \right\} \end{eqnarray*}$
In der letzten Formel komme ich allerdings oft mit den Vorzeichen durcheinander. Aber mal davon abgesehen weiß ich nicht wie ich jetzt weiter machen muss. Ich hätte jetzt erst einmal weiter zusammengefasst. Sprich: $\begin{eqnarray*} \cos(\frac{\pi k}{2} ) -\cos(\frac{\pi k}{2} )=0 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} -\sin(\frac{\pi k}{2} ) -\sin(\frac{\pi k}{2} )=-2\sin(\frac{\pi k}{2} ) \end{eqnarray*}$

Dann bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{2\pi ik }\left\{-2i\sin(\frac{\pi k}{2} ) \right\} \end{eqnarray*}$ .

So jetzt komme ich von selbst nicht mehr weiter.

21.02.2016, 19:34

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RE: Bestimmen der Fourier Koeffizienten
Das Umschreiben war keine so ganz gute Idee. Wirf mal einen Blick auf die Dartellung der Sinusfunktion durch die komplexe Exponentialfunktion.
Weiter: Welche Werte nimmt $\begin{eqnarray*} \sin(\frac{\pi k}{2} ) \end{eqnarray*}$ für ganzzahlige k an?

21.02.2016, 20:42

Silentg

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Hallo,

$\begin{eqnarray*} \sin(\frac{\pi k}{2} ) =1 \end{eqnarray*}$

Was hätte ich denn deiner Meinung nach machen sollen? Bei der Exponentialfunktion hätte ich noch weniger Ideen.

Gruß
Silentg

21.02.2016, 20:44

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Das ist doch offensichtlich falsch. Setze z.B.k=0 ein. Oder k=2. Oder k=4

Du hättest dir dir Umformungen gespart. Falsch ist das nicht.

21.02.2016, 21:10

Silentg

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Ok du hast recht, für ganzzahlige k ist $\begin{eqnarray*} \sin(\frac{\pi k}{2} ) \end{eqnarray*}$ ungefähr 0

Kannst du mir erklären wie ich mit der Exponentialfunktion weitergerechnet hätte?

21.02.2016, 21:12

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Zitat:

Du hättest dir dir Umformungen gespart.

und einfach direkt den Sinus hingeschrieben.
Deine Formel ist unleserlich. Benutze den Vorschau-Button

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21.02.2016, 21:20

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Zitat:

Original von Silentg
Ok du hast recht, für ganzzahlige k ist $\begin{eqnarray*} \sin(\frac{\pi k}{2} ) \end{eqnarray*}$ ungefähr 0

ROFL

21.02.2016, 21:23

Silentg

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Ok dann war das wohl auch nicht richtig....

21.02.2016, 21:27

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ok, dann lies mal, was du da geschrieben hast. Ungefähr 0? Was zum Henker soll das denn heißen?
Ist 1 ungefähr 0? Ist dir aufgefallen, dass ich nur gerade Werte für k angegeben habe? Hast du mal einen ungeraden Wert eingesetzt?

21.02.2016, 21:34

Silentg

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ja das ist mir aufgefallen. Mir ist schon klar, dass eine Rechteck-Funktion die geraden Koeffizienten wegfallen bzw. 0 sind.

21.02.2016, 22:36

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Das hat nichts mit der Rechteckfunktion zu tun sondern mit der Symmetrie. Die Funktion ist gerade, also fallen alle ungerade Koeffizienten weg - falls man eine reelle Fourierreihe berechnet. Das tust du hier aber nicht.
Hast du inzwischen ungerade Werte für k eingesetzt?

26.02.2016, 18:19

Silentg

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Sorry hab es nicht früher geschafft.

Also wenn ich für k gerade Zahlen eingebe dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \sin(\frac{\pi 2}{2} ) = 0,055<br /> \sin(\frac{\pi 4}{2} ) = 0,11 \end{eqnarray*}$

gebe ich für k ungerade Zahlen ein:

$\begin{eqnarray*} \sin(\frac{\pi 1}{2} ) = 0,027<br /> \sin(\frac{\pi 3}{2} ) = 0,082 \end{eqnarray*}$

26.02.2016, 19:20

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Wenn du den Taschenrechner benutzt, solltest du schon vorher auf das Bogenmaß umstellen.
Allerdings ist das nur bedingt nützlich, denn schließlich müsstest du unendlich viele k einsetzen. Besser ist es, wenn du dir die Werte am Einheitskreis oder dem Funktionsgraphen der Sinusfunktion überlegst.

26.02.2016, 20:54

Silentg

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Oh... hm stimmt da war doch was... :Hammer:

Ok also bei den ungeraden k bekomme ich "0" raus und bei den geraden "1"!

26.02.2016, 20:57

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Wie das denn?

26.02.2016, 21:35

Silentg

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Ok das war vielleicht etwas vorschnell. Also $\begin{eqnarray*} \sin(\pi ) =1 \end{eqnarray*}$ ich hatte jetzt gedacht, das es sich durch die geraden k um ein vielfaches von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ handelt und deswegen 1 bleibt.

Ich habe das jetzt mal in den Taschenrechner eingegeben:

$\begin{eqnarray*} \sin(\pi ) =1<br /> \sin(\frac{4\pi }{2} )= 0 <br /> \sin(\frac{6\pi }{2} )= -1 <br /> \sin(\frac{8\pi }{2} )= 0 \end{eqnarray*}$

und bei den ungeraden k:

$\begin{eqnarray*} <br /> \sin(\frac{1\pi }{2} )= 0,707 <br /> \sin(\frac{3\pi }{2} )= 0,707<br /> \sin(\frac{7\pi }{2} )= -0,707 \end{eqnarray*}$

26.02.2016, 21:52

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Ich habe keine Ahnung, was du da in deinen Taschenrechner eingegeben hast - oder was für eine Art TR das ist, der dir $\begin{eqnarray*} \sin(\pi)=1 \end{eqnarray*}$ liefert. Genauso falsch ist $\begin{eqnarray*} \sin(\frac{1\pi }{2} )= 0,707 \end{eqnarray*}$

26.02.2016, 21:57

Silentg

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ok ich korrigiere mich noch mal. Ja der TR ist ganz neu... ich tue mich damit etwas schwer...

$\begin{eqnarray*} \sin(\pi )= 0<br /> \sin(\frac{4\pi }{2} )= 0<br /> \sin(\frac{6\pi }{2} )= 0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \\sin(\frac{1\pi }{2} )= 1<br /> \sin(\frac{3\pi }{2} )= -1<br /> \sin(\frac{5\pi }{2} )= 1 \end{eqnarray*}$

27.02.2016, 21:03

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Das ist jetzt richtig. Mit der Periodizität des Sinus kannst du damit alle Fourierkoeffizienten bestimmen.

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