Umkehrfunktionen und deren Ableitungen

20.02.2016, 13:07	Snapper	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrfunktionen und deren Ableitungen Meine Frage: Folgende Aufgabe: gegeben funktion f: R->R mit f(x)= 2x³+4x+8 Sei g die Umkehrfunktion von f. Berechnen Sie g'(2). Meine Ideen: Gilt jetzt allgemein: f'^1 = g'? Also lässt sich die Umkehrfunktion herausfinden, indem mann die Funktion ableitet, deren Umkehrfunktion bildet und dann wieder integriert(was hier nicht nötig ist)? Anwendungen dieses noch nicht bewiesenen Satzes, wäre dann folgend: f'(x)= 6x²+4 Umkehrfunktion f'^-1 bilden: 6x²+4=y 6x²=y-4 x²=(y-4)/6 x=sqrt((y-4)/6)) => g'(y)= sqrt((y-4)/6)) g'(2)= sqrt((-1/3))= keine Reelle Lösung, also somit höchstwarscheinlich falsch. Fehler im Satz oben?
20.02.2016, 16:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du spekulierst einfach auf eine Regel - ohne jegliche Begründung, warum sie stimmen sollte. Da könnte ich genau so gut sagen: Ich glaube, in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten $\begin{align} a,b \end{align}$ und der Hypotenuse $\begin{align} c \end{align}$ gilt: $\begin{align} c^3 = a^3 + b^3 \end{align}$ . Wenn also $\begin{align} a=2 \end{align}$ und $\begin{align} b=3 \end{align}$ ist, dann ist $\begin{align} c = \sqrt[3]{35} \end{align}$ . Stimmt das? Natürlich nicht. Es gibt auch keinen vernünftigen Grund anzunehmen, warum es stimmen sollte. Und genau so wenig stimmt deine Spekulation. Das Bild zeigt den Zusammenhang zwischen den Steigungen von Funktion $\begin{align} f \end{align}$ und Umkehrfunktion $\begin{align} g \end{align}$ : [attach]40949[/attach] $\begin{align} g'(y) = \frac{1}{f'(x)} \, , \ \ \text{wobei} \ y = f(x) \ \text{ist} \end{align}$ Und bei deiner Aufgabe ist $\begin{align} y = 2 \end{align}$ .

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