Gaußschen ganzen Zahlen , Teiler, Primzahl

20.02.2016, 17:38	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Gaußschen ganzen Zahlen , Teiler, Primzahl Ich habe eine Frage zu den Gaußschen ganzen Zahlen $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray}$ . Warum ist jeses Primelement $\begin{eqnarray} z \in \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray}$ ein Teiler einer Primzahl? Sei $\begin{eqnarray} z \in \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray}$ irreduzibel, dh. ist $\begin{eqnarray} z\|ab \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray}$ so muss $\begin{eqnarray} z\|a \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} z\|b \end{eqnarray}$ teilen. Ich hätte versucht die Norm $\begin{eqnarray} N(z)= z \overline{z} \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ in eine Primfaktorzerlegung zu zerlegen. Aber da wäre ja das Problem, dass noch mit $\begin{eqnarray} \overline{z} \end{eqnarray*}$ multipliziert wird. Habt ihr da einen Tipp? LG, MaGi
21.02.2016, 12:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} z\|ab\Rightarrow z\|a\vee z\|b \end{eqnarray}$ ist die Definition eines Primelements, nicht die Definition eines irreduziblen Elements. $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ heißt irreduzibel, wenn jeder Teiler von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ assoziiert zu $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ ist. Nun zu deinem Problem: Es ist die Klassenzahl $\begin{eqnarray} h(\mathbb Q(i))=1 \end{eqnarray}$ , also ist die Primzerlegung eindeutig. Deine Idee hilft dann weiter, denn es ist $\begin{eqnarray} N(z)=z\overline z=\prod p_i\in \mathbb Z, p_i \end{eqnarray}$ prim. Den Abschluss des Beweises liefert die Definition eines Primelements. Anmerkung: Wenn die (absolute) Klassenzahl $\begin{eqnarray} h(K/\mathbb Q) \end{eqnarray}$ eines algebraischen Zahlkörpers $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ größer als 1 ist, gibt es keine eindeutige Primzerlegung, und in der Tat ist dann auch die Aussage falsch. Siehe das klassische Beispiel : $\begin{eqnarray} (1+i\sqrt 5)\cdot (1-i\sqrt 5)=2\cdot 3=6 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb Z[\sqrt {-5}] \end{eqnarray}$ Nachtrag. Die Sache mit der Klassenzahl lassen wir lieber weg, denn das ist nicht sinnvoll. Der Beweis funktioniert ganz schlicht mit der Definition, mit deiner Idee und der Darstellung der Norm als Produkt ganzrationaler Primzahlen.
22.02.2016, 00:12	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke

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