Konvergenz von Folgen

20.02.2016, 17:45

franzi1323

Konvergenz von Folgen

Meine Frage:
Ich habe mal eine Frage bezüglich der Konvergenz der Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ .

In der Lösung wird erweitert und umgeformt sodass

$\begin{eqnarray*} = \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

dasteht, woraus man dann folgern kann, dass die FOlge konvegiert.

Meine Ideen:
Problem hierbei finde ich, woher soll man auf diese "Tricks" in der Klausur kommen? Und könnte man dies nicht auch so lösen:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \lim_{n \to \infty b} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = <br /> \lim_{n \to \infty b} (\sqrt{n+1}) - \lim_{n \to \infty b} (\sqrt{n}) = \infty - \infty = 0 \end{eqnarray*}$

Damit ist gezeigt, dass die Folge konvergiert.
Oder habe ich hier einen formalen Fehler drin?

Danke schonmal smile

20.02.2016, 18:01

Helferlein

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Mit derselben Begründung könntest Du zeigen, dass $\begin{align*} a_n=(n+k)-n \end{align*}$ gegen 0 konvergiert (was offensichtlich nicht stimmt).

Der Knackpunkt ist zum einen, dass die lapidare Aussage $\begin{align*} \infty-\infty=0 \end{align*}$ falsch ist und Du zudem recht freizügig mit dem Grenzwerten umgehst.

20.02.2016, 20:41

franzi132332

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ok danke schonmal.

Allerdings besagt die Lösung folgendes:

Mit erweitern und der dritten binomischen Formel folgt:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq a_{n} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{n + 1 - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Wie man sofort sieht ist der Zähler des Bruches konstant, wobei der Nenner wegen des archimedischen Axioms unbeschränkt ist. Also konvergiert die rechte Seite gegen 0. Aufgrund des Sandwich-Theorems konvergiert dann auch die Folge $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{ n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ gegen 0.

Hier wird doch gesagt, dass die Folge gegen 0 konvergiert. Da überrascht mich etwas die Aussage erste Aussage.

Auch noch die Frage, ob ich dieses Erweitern richtig verstanden habe. Ich habe mir das so gedacht:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) * \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Also man erweitert mit 1 ( was ja $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ ist) und löst auf.

Stimmt diese Überlegung?

Dann die Frage, wie man auf sowas in einer Klausur kommen soll? Ist das ein Trick, der häufig angewendet wird? Oder geht das nciht irgendwie einfacher?

Prinzipiell hätte ich vom draufschauen eher gesagt, dass die Folge divergiert, da sie ja immer weiter steigt.. aber ich bin jetzt erstmal von einer korrekten Lösung ausgegangen.

Danke schonmal

20.02.2016, 21:22

Mulder

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Zitat:

Original von franzi132332
Dann die Frage, wie man auf sowas in einer Klausur kommen soll? Ist das ein Trick, der häufig angewendet wird?

Speziell wenn man es mit solchen Differenzen von Wurzeltermen zu tun hat, ist das ein "Trick", der sogar sehr häufig angewendet werden kann. Man würde hier im Forum sicherlich hunderte, wenn nicht gar tausende Threads finden, in denen genau dies verwendet wird. Ich würde dir also dringend empfehlen, dir diesen zu merken, damit er zukünftig zu deinen Standardwerkzeugen gehört. In aller Regel stolpert man eigentlich auch in der Schulmathematik wohl hier und da mal über diesen kleinen Kniff.

Aber grundsätzlich sind Fragen der Art "Wie soll man darauf kommen?" nicht sinnvoll zu beantworten.

20.02.2016, 23:26

Helferlein

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Zitat:

Original von franzi132332
Hier wird doch gesagt, dass die Folge gegen 0 konvergiert. Da überrascht mich etwas die Aussage erste Aussage.

Ich habe ja auch nirgends behauptet, dass diese Folge keine Nullfolge ist. Ich habe nur deine Beweisidee an einem Beispiel widerlegt.

Zitat:

Original von franzi132332
Prinzipiell hätte ich vom draufschauen eher gesagt, dass die Folge divergiert, da sie ja immer weiter steigt..

Ernsthaft? Du kennst doch den Graphen der Wurzelfunktion und der verflacht sich immer mehr. Die Differenz bei einem konstanten waagerechtem Abstand von 1 wird also immer kleiner. Wie kommst Du dann auf die Idee der Divergenz?

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