Normalgebiet bestimmen

21.02.2016, 13:22

Ck247

Normalgebiet bestimmen

Hallo,
ich soll für folgendes Gebiet das Volumen berechnen:

(x,y,z) aus dem R^3 mit: x>0 ; x+z<3 ; y²+z²<1

Die Mathematik zum Lösen der entsprechenden Integral ist mit klar, es geht hier lediglich um die Integralgrenzen, dass heißt: wie bestimme ich aus diesem Gebiet ein (oder mehrere?) Normalgebiet(e) damit ich den Satz von Fubini anwenden kann?

Ich weiß zwar, dass x zwischen zwei reellen Zahlen liegen muss, y zwischen zwei Funktionen abhängig von x und z zwischen zwei Funktionen abhängig von (x,y) (im Idealfall), ich komme aber nicht auf richtige Ansätze, da meine Gebiete nicht denen der Lösung entsprechen, und mir z.T. auch Angaben fehlen (meiner Meinung nach). Gibt es denn theoretisch mehrere Normalgebiete mit denen man auf das richtige Ergebnis kommt, bzw. wie geht man bei solchen Aufgaben (Bestimmung eines Normalgebietes aus irgendeinem Gebiet) am besten vor (wie formt man die Grenzen hier um und setzt sie wieder ineinander ein)?

LG

21.02.2016, 22:49

005

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Normalgebiet bestimmen
Du musst Dir schon mal die Muehe machen, das mit Papier und Bleistift zu skizzieren. Die letzte Bedingung beschreibt einen unendlichen Zylinder mit Radius 1 um die x-Achse. Wegen der ersten Bedingung ist bei x=0 der Boden, waehrend die zweite Bedingung mit der Ebene x+z=3 den uenendlichen Zylinder von der anderen Seite her schraeg abschneidet. Mal Dir das halt auf.

22.02.2016, 09:44

Ck247

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß wie das Objekt aussieht (ich habe ja wie erwähnt die Lösung).

Man stelle sich vor, dass man einen Körper aus dem R^n hat, mit n Variablen, spätestens dann funktioniert das ja nicht mehr mit dem Aufzeichnen...

22.02.2016, 11:11

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Normalgebiet bestimmen

Zitat:

Original von Ck247
Gibt es denn theoretisch mehrere Normalgebiete mit denen man auf das richtige Ergebnis kommt,

Das kommt darauf, wie ihr Normalgebiet im Detail definiert habt. Ich habe eine Definition in Erinnerung, bei der ein mehrdimensionales Gebiet Normalgebiet genannt wurde, wenn man die Integration darüber so mittels eines geschachtelten Integrals durchführen konnte, dass für jedes Einzelintegral über ein Intervall zu integrieren ist. Bei dieser Definition ist das Gebiet ein Normalgebiet oder nicht. Es kann aber mehrere Integrationsreihenfolgen geben, die diese Bedingung erfüllen. Bezieht man die Reihenfolge in die Definition ein, kann ein Gebiet auf mehrere Arten ein Normalgebiet sein.

Zitat:

wie geht man bei solchen Aufgaben (Bestimmung eines Normalgebietes aus irgendeinem Gebiet) am besten vor (wie formt man die Grenzen hier um und setzt sie wieder ineinander ein)?

Da gibt es wohl kein allgemeines Rezept. Wenn man sich das Gebiet nicht geometrisch vorstellen kann, was schon bei 3 Dimensionen Probleme machen kann und erst recht bei noch mehr Dimensionen, ist es ein gutes Rezept, die Integrationen möglichst weit nach außen zu nehmen, die in möglichst wenig Nebenbedingungen auftauchen.

Bei deinem Beispiel taucht die Variable $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ nur in der 3. Nebenbedingung auf. Wenn man sie nach außen nimmt, ergibt diese Nebenbedingung für sie das Integrationsintervall $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ . Nimmt man $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ als nächste Integrationsvariable, ergibt sich aus der 3. Nebenbedingung vorläufig das Integrationsintervall $\begin{eqnarray*} [-\sqrt {1-y^2}, \sqrt {1-y^2}] \end{eqnarray*}$ . Für die innerste Integration über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ergibt sich dann aus den ersten beiden Nebenbedingungen das Integrationsintervall $\begin{eqnarray*} [0, 3-z] \end{eqnarray*}$ . Jetzt muss man noch prüfen, ob nicht für bestimmte Werte von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ die obere Grenze kleiner als die untere Grenze werden kann. Das ist offenbar nicht der Fall. Also ist das Gebiet ein Normalgebiet und die Integration könnte so ausgeführt werden:

$\begin{eqnarray*} V=\int\limits_{-1}^1\int\limits_{-\sqrt {1-y^2}}^{\sqrt {1-y^2}}\int\limits_0^{3-z}1\cdot dxdzdy \end{eqnarray*}$

22.02.2016, 12:57

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Huggy
Ich habe eine Definition in Erinnerung, bei der ein mehrdimensionales Gebiet Normalgebiet genannt wurde, wenn man die Integration darüber so mittels eines geschachtelten Integrals durchführen konnte, dass für jedes Einzelintegral über ein Intervall zu integrieren ist.
[...]
Es kann aber mehrere Integrationsreihenfolgen geben, die diese Bedingung erfüllen. Bezieht man die Reihenfolge in die Definition ein, kann ein Gebiet auf mehrere Arten ein Normalgebiet sein.

Unter bestimmten hinreichenden Kriterien (z.B. Konvexität des Gebietes, was im vorliegenden Fall zutreffend ist) erfüllt dies jede Integrationsreihenfolge.

22.02.2016, 13:24

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL
Das wollte ich auch nicht ausschließen. Nur sieht man aus den Randbedingungen oft nicht sofort, ob das Integrationsgebiet konvex ist, es sei denn, man hat eine sehr gute geometrische Vorstellungskraft. Und wenn man es sieht, bleibt immer noch die Frage, bei welcher Reihenfolge man am leichtesten auf die jeweiligen Grenzen kommt?

22.02.2016, 13:36

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Huggy
bleibt immer noch die Frage, bei welcher Reihenfolge man am leichtesten auf die jeweiligen Grenzen kommt?

Das steht natürlich auf einem ganz anderen Blatt. Augenzwinkern

Ich habe das oben ja nur erwähnt, weil hier tatsächlich Konvexiät vorliegt, bei diesem schräg abgeschnittenen Zylinder.

22.02.2016, 13:59

Ck247

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für eure Antworten!
Deinen Gedankengang kann ich bis auf folgenden Part nachvollziehen:

Bei deinem Beispiel taucht die Variable $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ nur in der 3. Nebenbedingung auf. Wenn man sie nach außen nimmt, ergibt diese Nebenbedingung für sie das Integrationsintervall $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ .

Wie kommst du auf dieses Intervall? Ich sehe gerade nicht was ich genau tun soll verwirrt

22.02.2016, 14:10

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Die 3. Nebenbedingung ist

$\begin{eqnarray*} y^2+z^2<1 \end{eqnarray*}$

Da immer gilt $\begin{eqnarray*} z^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ , folgt daraus $\begin{eqnarray*} y^2<1 \end{eqnarray*}$ .

22.02.2016, 15:52

Ck247

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, du hast dir also angeguckt wie y sich für z=0 verhält...

Könnte man das nicht theoretisch auch für y²>0 machen? Also das man als Ergebnis z²<1 erhält?

22.02.2016, 16:03

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja sicher: $\begin{align*} y^2+z^2=1 \end{align*}$ ist der Einheitskreis in der y-z-Ebene, und die Folgerung $\begin{align*} -1\leq y\leq 1 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} -1\leq z\leq 1 \end{align*}$ unterstreicht lediglich die Tatsache, dass dieser Kreis innerhalb eines (zentrierten) Quadrates der Seitenlänge 2 liegt.

22.02.2016, 16:14

Ck247

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke, ich glaube da muss man sich erst einige Beispiele verinnerlichen, bis man da richtig durchblickt

Neue Frage »

Antworten »

Normalgebiet bestimmen

Verwandte Themen