Bilinearität zeigen

21.02.2016, 15:48	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Bilinearität zeigen Hallo zusammen, ich soll zeigen das $\begin{eqnarray} f(x,y)=2x^2+6xy+2y^2 \end{eqnarray}$ eine Bilinearform ist. Dazu muss ich zeigen das f in beiden Argumenten linear ist. Das heißt also es gilt zu zeigen: $\begin{eqnarray} f(a+b,y)=f(a,y)+f(b,y) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(\lambda a,y)=\lambda f(a,y) \end{eqnarray}$ und das gleiche nochmal für die zweite Koordinate. Für $\begin{eqnarray} f(a+b,y)=f(a,y)+f(b,y) \end{eqnarray}$ erhalte ich: $\begin{eqnarray} f(a+b,y)=2a^2+4ab+2b^2+6ay+6by+2y^2 \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} f(a,y)+f(b,y)=2a^2+6ay+6by+4y^2+2b^2 \end{eqnarray}$ Wenn ich das nun gleichsetze erhalte ich: $\begin{eqnarray} 4ab=2y^2 \end{eqnarray}$ was ungleich ist und somit dürfte es keine Bilinearform sein. Ich bezweifle allerdings das dies richtig ist und ich fürchte das ich einen Fehler gemacht habe. Kann mir jemand helfen? Vielen Dank schonmal!
21.02.2016, 16:59	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie lautet die Aufgabe denn im exakten Wortlaut?
21.02.2016, 17:36	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Helferlein, die Aufgabe habe ich aus dem Dokument entnommen. Es handelt sich um Aufgabe 3 und dort heißt es dies sei eine quadratische Form. Nun dachte ich daran diese zu untersuchen auf Linearität und Symmetrie da eine quadratische Form eine symmetrische Bilinearform ist. Was mich nun verwundert das ich nicht darauf komme das diese Abbildung eine Bilinearform ist. Wie kann das sein? Vielen Dank!
21.02.2016, 18:38	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das liegt daran, dass quadratische und bilinearformen eben nicht dasselbe sind. Eine Quadratische Form ist durch den Term $\begin{eqnarray} q(z)=z^tAz \end{eqnarray}$ gegeben. Die zugehörige Bilinearform durch $\begin{eqnarray} b(x,y)=x^tAy \end{eqnarray}$ . In deinem Fall geht es also nicht um $\begin{eqnarray} f(x,y)=2x^2+6xy+2y^2=(x,y) \begin{pmatrix}2&3\\3&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , sondern $\begin{eqnarray} b(x,y)=(x_1,x_2)\begin{pmatrix}2&3\\3&2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1 \\y_2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$
21.02.2016, 21:27	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dass erklärt einiges. Das Skalarprodukt ist eine Bilinearform soweit bin ich schonmal mit $\begin{eqnarray} \langle x,y\rangle=x^TAy \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ . Ist das genau der Zusammenhang?
25.02.2016, 23:49	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die zugehörige quadratische Form ist dann <z,z>
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