Winkel-Umkehrfunktionen - Beziehungen

21.02.2016, 17:24

Chemiestudent2,718

Winkel-Umkehrfunktionen - Beziehungen

Meine Frage:
Hallo, schönen Abend/Morgen/Nachmittag/Vormittag smile

Kann mir jemand sagen wie man darauf kommt, dass

$\begin{eqnarray*} \arctan(x) = \arcsin(\frac{x}{\sqrt{1+x^{2} }} ) \end{eqnarray*}$ ?

Vielen Dank und LG

Meine Ideen:
kein Plan

21.02.2016, 19:17

HAL 9000

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Für $\begin{align*} y \end{align*}$ mit $\begin{align*} \cos(y)>0 \end{align*}$ gilt $\begin{align*} \sin(y) = \tan(y)\cdot \cos(y) = \frac{\tan(y)}{\sqrt{1+\tan^2(y)}} \end{align*}$ .

Auf welches $\begin{align*} y \end{align*}$ könnte man das hier anwenden?

21.02.2016, 19:43

mYthos

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Zitat:

Original von Chemiestudent2,718
... wie man darauf kommt ...

.. über die beiden Beziehungen

$\begin{eqnarray*} \sin^2 y + \cos^2 y = 1 \ \text{und} \ \tan y = \frac{\sin y}{\cos y} \end{eqnarray*}$

-------------------

Setze $\begin{eqnarray*} y = \arctan x \ \to \ x = \tan y = \frac {\sin y}{\sqrt{1 - \sin^2 y}} \end{eqnarray*}$

und stelle nach $\begin{eqnarray*} \sin y \end{eqnarray*}$ und letztendlich nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ um. Für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ schreibe nun wieder $\begin{eqnarray*} \arctan x \end{eqnarray*}$

mY+

22.02.2016, 16:42

Chemiestudent2,718

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Danke das hat mir sehr weitergeholfen.

Es bleibt dann bei mir aber trotzdem noch das Problem über wieso
- ( sin(arctan x) )^2 = x^2 ?

23.02.2016, 22:33

mYthos

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Woher hast du denn das?
Das stimmt (im Allgemeinen) ja gar nicht!

mY+

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