Absoluter Fehler

22.02.2016, 14:19	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Absoluter Fehler Hey Leute, kann mir jemand erklären, warum man bei der Berechnung des absoluten Fehlers die 2-Norm $\begin{eqnarray} \|\|u_{exakt}-u_{numerisch}\|\|_2 \end{eqnarray}$ der Differenz aus der exakten und der numerischen Lösung noch durch die Wurzel aus der Anzahl der Elemente der Vektoren teilen muss? Also warum gilt: $\begin{eqnarray} R(u_{exakt},u_{numerisch})=\dfrac{\|\|u_{exakt}-u_{numerisch}\|\|_2}{\sqrt{N}} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} u_{exakt},u_{numerisch}\in\mathbb{R}^{N\times 1} \end{eqnarray}$ ?
22.02.2016, 14:28	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Absoluter Fehler Man muss nichts, aber die Frage ist was R messen soll. Was würde passieren, wenn wir nicht durch etwas mit N teilen? Dann würde R eine numerische Lösung bevorzugen, bei der man möglichst wenig auswertet also ist N = 1 vermutlich optimal. Was würde passieren, wenn man stattdessen durch etwas großes in N teilt? Dann würde R eine Lösung bevorzugen, die man extrem oft auswertet, egal ob die nun irgendwo nah dran an der Originallösung ist oder nicht. Die Skalierung deines R mittelt den Fehler zwischen allen Summanden im L^2 Sinne. Um genau zu sein ist $\begin{eqnarray} R^2 = \frac 1 N \sum_{k = 1}^N \|u_{\text{exakt}}^{(k)} -u_{\text{numerisch}}^{(k)}\|^2 \end{eqnarray}$ .
22.02.2016, 14:35	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht hängt es mit $\begin{align} \\|x\\|_{\infty} \leq \\|x\\|_2 \leq \sqrt{N} \cdot \\|x\\|_{\infty} \end{align}$ zusammen, d.h., man will eine auf $\begin{align} \\|\ldots\\|_2 \end{align}$ basierte Norm haben, die aber dennoch Werte $\begin{align} \leq \\|\ldots \\|_{\infty} \end{align}$ liefert.

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